2013年08月28日

小学算数　還元算の問題の解き方

「問題文の最後から順に前にもどって解く」のが還元算です。

相当算の１種ですが、「あとから前にもどって解く」のが特徴です。

１、問題文にそって、解きやすいように工夫して図をかく。
２、気がつけば簡単になるヒントが問題文の最後にあるのでそれを見つける。

この２つで還元算は解けます。

基本問題：
みかんをＡ、Ｂ、Ｃの３人で分けました。はじめＡは全体の２５％と５個をとり、次にＢは残りの６割より６個少なくとり、最後にＣは残りの５０％と８個をとったら、９個残りました。はじめみかんは何個ありましたか。

２５％→０.２５や６割→０.６などの割合と、５個、６個、８個などの実際の数量とが見た目で区別できるような図をかきます。
割合のほうを丸で囲むなどしたら区別しやすくなります。

問題文の最後、「最後にＣは残りの５０％と８個をとったら、９個残りました。」に、簡単になるヒントが隠されているのでそこに注目します。

「残りの５０％と８個をとったら、９個残った」ということは、「８個と９個が、５０％とったあとの残りの５０％だった」ということです。
それにさえ気づけば簡単に解くことができます。

８個と９個の和の１７個が「残りの５０％」ですから、Ｂがとったあと残っていたのは１７÷０.５＝３４個です（半分の５０％が１７個だからＢがとったあと残っていたのは１７×２＝３４個と考えてもかまいません）。

次に、「Ｂは残りの６割より６個少なくとり」の部分を同じように考えます。

Ｂがあと６個とったら、そこがＡが採ったあと残ったものの６割だったわけです。ということは、３４個から６個ひいたものが、Ａがとったあとの残りの４割です。
（３４－６）÷０.４＝７０個。
これが最初にＡがとったあとの残りです。

最後に、「Ａは全体の２５％と５個」だったので、７０個に５個を加えた７５個が、最初のみかんの７５％だとわかります。
最初にあったみかんは、７５÷０.７５＝１００個。
答えは１００個です。

このように、問題文の最後の部分にかくされているヒントに気づけば、そこから前の段階へ、前の段階へと順にもどることで案外簡単に解けてしまうのが還元算です。

例題１：
Ａ君は通学に、いつも自転車、電車、バスを利用し、残りは歩きます。その割合は、全通学時間の１/５と３分間は自転車で、残りの時間の２/７と１５分間は電車で、あとの１/４と１０分間はバスで、最後の５分間は歩きます。Ａ君が午前７時に家を出ると、学校には午前何時何分に着きますか。

まず、丁寧に図をかきます。

問題文最後の、バスと歩いた部分に大きなヒントが隠れていますからしっかりとながめて考えます。
最後に残った部分の１/４と１０分バスに乗ると、あるいた部分が５分であったということは、１０分＋５分＝１５分が３/４だったということです。

１５÷３/４＝１５×４/３＝２０分。

次に、電車が２/７と１５分間だったので、２０分＋１５分＝３５分が１－２/７＝５/７だったわけです。
３５÷５/７＝３５×７/５＝４９分。

最後に、「全通学時間の１/５と３分間は自転車」から、自転車以外の４９分に３分を加えた５２分が全体の４/５とわかります。
（４９＋３）÷４/５＝５２×５/４＝６５分。
通学にかかる時間の全体は６５分です。

「午前７時に家を出ると、学校には午前何時何分に着きますか」とあるので、答えは午前８時５分。

次に、やや難しい問題をながめてみましょう。

例題２：
ある本を、１日目に全体の半分より１０ページ多く読み、２日目に残りの１/３より２０ページ多く読みましたが、まだ、全体の１/７残っていました。
この本は全体で何ページありますか。

還元算は相当算の１種ですが、問題の最後にヒントがあり、ヒントに気づけばそこから逆にたどることで解ける問題群です。

ところがこの問題では、最後に残った１/７は割合なので、今までの問題のようにヒントにはなりません。

図をながめると、２日目の「残りの１/３」だけが「全体」をもとにした割合ではなくて「残り」に対する割合であることに気づきます。
そこで、相当算のコツである、「基準にする量を１つに統一する」を使います。「残り」に対する割合ではなくて、「全体」に対する割合に統一します。

「残りの１/３」とありますが、１日目に読んだあとに残っているのは「全体の１/２－１０ページ」ですから、「残りの１/３」とは「全体の１/２－１０ページ」の１/３だということです。
分配総則を使って「全体の１/２－１０ページ」×１/３を計算すると、１/２×１/３－１０×１/３＝１/６－１０/３ページ。

これで、数量の（１０－１０/３＋２０）ページが、全体の（１－１/２－１/６－１/７）にあたる割合であることを見つけることができました。

（１０－１０/３＋２０）÷（１－１/２－１/６－１/７）＝８０/３÷８/４２＝８０/３×４２/８＝１４０ページ。
本のページ数は１４０ページです。

この問題などは、還元算というよりは純粋な相当算ととらえたほうがよいのかもしれません。

次のような問題も還元算なので、あとの結果から順に前にもどって考えます。

例題３：
バスが何人かの乗客を乗せて出発しました。最初の停留所で乗客の１/３が降りて５人が乗りました。２番目の停留所で乗客の１/５が降りて４人が乗りました。３番目の停留所では乗客の１/２が降りて３人が乗りました。終点で乗客１５人全員が降りました。出発したとき、乗客は何人でしたか。

やはり、あとの結果のほうから図をかいていくのがポイントです。