進み続ける2人以上の人が「出会う」か「追いつく」とき、それは「いつ」で「どこ」かを求める問題が旅人算です。

旅人算の基本問題:池のまわりに1周120mの道があります。Aは分速96m、Bは分速84mで歩きます。AとBが同時に同じ地点を出発し、池をまわります。
(1)反対方向に出発すると、出会うのは何秒後ですか。
(2)同じ向きに出発すると、AがはじめてBを追いこすのは何分後ですか。


出会うとき

(1)反対方向に出発すると、出会うのは何秒後ですか。
1
120m離れている距離を、2人の速さの合計で近づいて、出会うことになります。

時間=距離÷速さの

120÷(96+84)=2/3分

60×2/3=40秒








追いつくとき

(2)同じ向きに出発すると、AがはじめてBを追いこすのは何分後ですか。


120m前を進むBに、Aが追いつくことになります。

時間=距離÷速さの

120÷(96-84)=10分


次の問題は、最近よく出題される、グラフとからめて考えさせる旅人算です。

例題1:グラフは、太郎がA町を9時に歩いてB町へ、花子はA町を例題110時に自転車で出発し、B町で休んで、A町に帰ってきたようすを表わしたものです。
(1)花子が太郎を追い越すのは何時何分で、A町から何kmのところですか。
(2)B町を出発した花子がふたたび太郎と出会うのは何時何分で、B町から何kmのところですか。






(解き方)
旅人算を解くときに見つけておかないといけないのは、2人の「距離がいくら離れているのか」と、2人の「それぞれの速さ」です。

(1)花子が太郎を追い越すのは何時何分で、A町から何kmのところですか。

追い越すまでの時間=距離÷速さのです。

まず、花子がA町を出発した10時に、例題1の22人の距離がどれだけ離れているのかを求めておかないといけません。
そのためには、先に太郎の速さを求めておく必要があります。

太郎は、5時間かけて15km離れたB町に着いています。
15÷5=3km
太郎の時速は3kmです。

9時に出発して10時までは1時間ですから、太郎は10時の段階で3km進んでいます。
つまり、10時に2人の間の距離は3kmです。

時速3kmで進む太郎を花子が追いかけることになるので、次に花子の速さを求めないといけません。

花子は10時から11時15分までの1時間15分で15km離れたB町に到着します。
太郎の速さを時速で求めたので、花子の速さも時速で求めます。
時速だと分は使えないので、1時間15分を時間になおします。
1時間は60分だから、1時間15分=1時間と15/60時間、約分して1と1/4時間です。
よって、花子の速さは、
15÷5/4=15×4/5=12km
時速12kmです。

10時の2人の間の距離は3km、時速3kmで進む太郎を時速12kmの花子が追いかけるので、
3÷(12-3)=3÷9=1/3時間
60×1/3=20分

花子が太郎を追い越すのは10時20分です。


次に、花子が太郎を追い越すのはA町から何kmのところかを求めます。

花子の速さが時速12kmで、追い越すのは花子が出発してから20分後、つまり20/60=1/3時間後だから、12×(1/3)=4km

A町から4kmのところです。


(2)B町を出発した花子がふたたび太郎と出会うのは何時何分で、B町から何kmのところですか。

今度は、出会うまでの時間=距離÷速さのです。

まず、花子が11時45分にB町を出発するとき、Aとの距離はどれだけかを求めます。

時速3kmの太郎が、9時から11時45分まで2時間45分かけて進んだ距離は、かかった時間が2時間45分、2時間と45/60=3/4時間、つまり11/4時間だから、
3×11/4=33/4km

11時45分の、2人の間の距離は
15-33/4=60/4-33/4=27/4km

この距離を、時速3kmの太郎と時速12kmの花子が向かい合って進むので、2人が出会うのは、
27/4÷(3+12)=27/4×1/15=9/20時間
分になおして、
60×9/20=27分
2人が出会うのは、11時45分の27分後、12時12分です。

次に、そのときのB町からの距離を求めます。

花子が、B町を出発してから27分後の距離です。
花子の速さは時速12km、27分は9/20時間だから、
12×9/20=27/5km

B町からの距離は、27/5km(5.4km)です。


旅人算を解くとき、丁寧に図をかくと案外簡単に解けることがよくあります。
次の問題を、じっくりと図をかいて解いてみてください。

例題2:10km離れた2地点A、Bがあり、甲はA地点を、乙はB地点をそれぞれB地、A地に向かって同時に出発し、それぞれ一往復しました。甲、乙が最初に出会ったとのはA地点から6kmのところで、次に出会ったのは最初に出会ってから1時間30分後でした。
2回目に出会ったのはA地点から何kmのところですか。


(解き方)
私なら、次のような図をかきます。
例題2
図をながめると、2人が2回目に出会うまでに、AB間の距離のちょうど3倍を2人で進んでいることがわかります。
それがわかれば、もう解けたも同然です。

さらに、2人の速さの比、進む距離の比は、甲が6km進んだときに乙が進んだのは4kmですから、6:4=3:2です。

10×3=30kmを、3:2の割合で進むので、Aの進んだ距離は
10×3×3/5=18km
このとき、A地点からの距離は、
10×2-18=2km

Bの進んだ距離から2回目に出会った地点のA地点からの距離を求めると
10×3×2/5=12km
12-10=2km

いずれにしても、答えは2kmです。


最後の問題は難問です。

例題3:図のような長方形のジョギング・コースがあり、例題3AB=80m、AD=60m、BD=100mです。いま、Pは三角形AOBの周上をA→O→B→A→O→B→…(青色)、Qは三角形ADOの周上をA→D→O→A→D→O→…(赤色)と走ります。Pの速さは毎秒5m、Qの速さは毎秒4mで、2人ともA地を同時に出発します。このとき、2人がAO上で最初に出会うのは出発して何秒後ですか。また、2分間走ったとき、2人が同時にAO上を走ったのは何秒間ですか。

(解き方)
2人がAO上で最初にに出会うのは出発して何秒後ですか。

甲が最初にAO上にあるとき、2人がAO上で会うことはありません。

甲が2度目にAO上にあるとき、甲はA→O→B→Aと1周したあとです。1周する時間は、
(50+50+80)÷5=36秒
このとき、乙の進んだ距離は4×36=144mでA→D(60m)、D→O(50m)をこえてOから144-110=34m進んだOA上にいますから、この直後にOA上で最初に出会います。

甲が一周してAに着いたとき、2人の間の距離は
50-34=16m

この距離を秒速5mと秒速4mで近づくので、
16÷(5+4)=16/9秒

1回目にOA上で出会うのは
36+16/9=37と7/9秒後です。

2分間走ったとき、2人が同時にAO上を走ったのは何秒間ですか。

PがAO→OB→BA→…上にいる時間を書き出してみると、Pの速さは毎秒5mであり、50m→50m→80m→と進むから、
10秒→10秒→16秒→10秒→10秒→16秒→…となり、
赤字のところがOA上にあるときです。

だから、2分間でPがOA上にあるのは、
0~1036~4672~82108~118秒の4回です。

同じようにQがAD→DO→OA→…上にいる時間を書き出します。
Qの速さが毎秒4mで、60m→50m→50m→と進むので、15秒→12.5秒→12.5秒→15秒→12.5秒→12.5秒→…となり、赤字のときがOA上にあるときです。

ゆえに、2分間でQがOA上にあるのは、
27.5~4067.5~80107.5~120秒の3回です。

Pの0~1036~4672~82108~118秒と、Qの27.5~4067.5~80107.5~120秒のうち、重なっているのは、
40-36=4秒
80-72=8秒
118-108=10秒

よって、2人が同時にAO上を走ったのは、
4+8+10=22秒です。



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