お受験ちゃんねる:大学・高校偏差値ランキング&受験・学歴・就活ネタ2chまとめ

全国の大学、高校の最新の偏差値は勿論、就職・進学実績等様々なデータランキングを掲載しています! 受験生や就活中の方を含め多くの学生の皆さんに関係するようなニュース、子育てを行う親御さんにも役立つニュース全般をまとめていきます。 また、管理人の地元・熊本県の高校をはじめ、全国の主要進学高校の大学進学実績を徹底的に比較・検証していきます。 高校受験生や大学受験生、保護者の方、高校・大学OBの方は必見のブログです! 要望質問等どんどんコメントしてください! 当ブログはPC向けのサイトです。 Twitterの方もよろしければフォローお願いします @ojyukench 当ブログは管理人にとってはただの暇つぶしですので、気の向いたときにしか更新しません。あしからず。

カテゴリ : 小学 算数

20081128-095226


「小学校算数の分野別学習目次」へようこそ!

主に中学受験を考えている小学生を対象とした小学校の算数の学習を助けるためのページです。
「算数が苦手で困っている」といった小学生の方や、保護者の方にとって最善の解決策となるサイトを目指しています。
各単元をクリックすると記事を読むことが出来ます。

twitterをやられている方はこちらもフォローよろしくお願いします。
https://twitter.com/ojyukench
 
算数・数学の言葉 原価・仕入れ値、定価、売り値・売価、利益・値引き

 小 全学年 0をふくむ、かけ算と割り算
 小 全学年 3でわれる数の見つけ方(4・6・8・9でわれる数)
 小 全学年 +-×÷( )を入れて答えが10になる式をつくる問題
 小5・小6 計算を楽にするために(小学生と分配法則)

円周率と、円周の問題の解き方
 小5 整数 素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 整数 3個以上の数の素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 割合 割合・比べる量・もとにする量
 小5 割合 割合、百分率・歩合は、「~倍」をつけると超簡単
 小5 割合 利益と割引の問題を超簡単に解く方法

世界一わかりやすい 比例

世界一わかりやすい 反比例
《理解しやすい》円の面積を求める問題の解き方
 小6 対称な図形 点対称な図形のかき方
 小6 単位量あたり 「単位量あたりの大きさ」を求める問題
 速さの公式、キ・ハ・ジは役に立たない
 小6算数 速さの問題はこれで解きましょう
 小6 速さ 速さの問題を簡単に解く方法
 小6 速さ 池の周りをまわって出会い追いつく問題の考え方
 小6 分数 分数をかける・わると整数になる分数
 小6 分数 分数と時間の関係
 小6 分数 分数と速さの関係
 小6 簡単に比例の問題を解く 
 小6 簡単に反比例の問題を解く
 小6 おうぎ形の面積を求める3つの方法
 小6 円の問題を解くときに使う3つの方法
 小6 メートルと色々な単位
 小6 縮尺について学ぶ、縮図と拡大図 

 小 中学受験 計算(1) 計算問題を速く正確に解くコツ
 小 中学受験 計算(2) 様々な工夫をしてから解く計算問題
 小 中学受験 計算(3) 未知数を求める計算問題
 小 中学受験 計算(4) 約束記号の問題を簡単に解く方法
 小 中学受験 図形(1) 角度の問題は、等しい角を見つける、書きこむ
 小 中学受験 図形(2) 面積は、三角形かおうぎ形を利用する
 小 中学受験 図形(3) となりあう三角形の面積は、比を利用する
 小 中学受験 図形(4) 形が同じ三角形を見つけて、比で解く
 小 中学受験 図形(5) 図形の移動の問題を簡単に解くコツ
 小 中学受験 図形(6) 円の中の正方形の面積を求める
 小 中学受験 図形(7) 積み重ねた立方体の表面積を求める問題
 小 中学受験 図形(8) 斜線部分の面積を求める方法
 小 中学受験 図形(9) 容器に物体を入れる問題、公式「体積=底面積×高さ」の応用問題
 小 中学受験 図形(10) 正三角形・正六角形の面積とその利用
 小 中学受験 図形(11) 横に倒した円すいを転がらせる問題
 小 中学受験 図形(12) 円すいの展開図を学ぶ。中心角と母線・半径を知ろう
 小 中学受験 図形(13) 円すいの側面積を速攻で求める公式
 小 中学受験 図形(14) 色々な図形の展開図を利用した問題

 中学受験 和差算の問題の解き方
 中学受験 平均算の問題の解き方
 中学受験 つるかめ算の問題の解き方
 中学受験 年齢算の問題の解き方
 中学受験 消去算の問題の解き方
 中学受験 相当算の問題の解き方
 中学受験 還元算の問題の解き方
 中学受験 のべ算・帰一算の問題の解き方
 中学受験 ニュートン算の問題の解き方
 中学受験 分配算の基本問題の解き方
 中学受験 分配算の発展問題の解き方
 中学受験 倍数算の問題の解き方 2つの比が出てくる問題の解き方
 中学受験 仕事算の問題の2つの解き方
 中学受験 植木算の問題の解き方
 中学受験 方陣算の問題の解き方
 中学受験 旅人算の問題の解き方
 中学受験 通過算の問題の解き方
 中学受験 流水算の問題の解き方
 中学受験 時計算の問題の解き方
 中学受験 最も短い道のりを求める問題の解き方

 中学受験 文章題のコツ(1) ほとんどの特殊算の文章題は1つの式で解ける
 中学受験 文章題のコツ(2) 過不足算・差集め算の応用問題を解く
 中学受験 文章題のコツ(3) 比や割合の問題を解くコツ、1の量を求めましょう
 中学受験 文章題のコツ(4) 公倍数を利用して、特殊算を簡単に解く
 中学受験 文章題のコツ(5) 速さの問題を解くコツ、逆比を利用
 中学受験 文章題のコツ(6) 差集め算・つるかめ算を利用して解く速さの問題
 中学受験 文章題のコツ(7) 和差算や分配算を、線分図より簡単な図で解く
 中学受験 文章題のコツ(8) 相当算を分数を使わずに解く方法
 中学受験 文章題のコツ(9) 食塩水の問題の解き方は2パターンある
 中学受験 文章題のコツ(10) 時計算は図の書き方を工夫して解く
 中学受験 文章題のコツ(11) 1から10、1から100、1からnまでの整数の和を求める問題を解くコツ
 中学受験 文章題のコツ(12) 集合(重なり)の問題をベン図を利用して解く

 中学受験の難問を解く! 規則性
 中学受験の難問を解く! 数列
 中学受験の難問を解く! 角度を求める問題
 中学受験の難問を解く! 90°30°60°の直角三角形と辺の比


参照サイト様働きアリ
大阪で20年以上に渡って中学、高校入試の指導を行ってこられた先生による学習サイトを参考にしています。


3つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺(斜辺(しゃへん))と一番短い辺とは常に長さが2:1になります。
図1








なぜ、2:1になるのか?

(1)分割して見つける方法
図2修正角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。

(2)円を使って見つける方法
図3中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2:1であることを使う問題

例題:かげをつけた部分の面積を求めなさい。
図4










(解き方と解答)
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。
図5





まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・(1)

次に、三角形ABOの面積を求めます。
図6底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO:AH=2:1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・(2)

(1)(2)より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6


算数の全目次はこちら
小学校 算数 分野別学習目次

取り上げる問題は、2問とも時間内に私が解けなかった問題です。

(解答を見ないで自分だけの力で解けたら「師匠」と呼ばせていただきますのでチャレンジしてみてください。)


問題1:図で四角形ABCDと四角形DEFGは同じ大きさの正方形で、点Cは角度の難問(1)AとFを結ぶ直線上にあります。xの角の大きさは何度ですか。













(解答)
ACが正方形の対角線だから三角形DACは直角二等辺三角形であり、角DACや角DCAが45°であることはわかります。
それがわかった後、いろいろ考えたのですが、すぐにはわかりませんでした。

AFとDEの交点をHとします。
角度の難問(1)の2
角度の問題は、求めたい角度に関係のある三角形を見つけて、その三角形で考えるのが鉄則です。

まず、三角形DHCで考えましたが、角DCH=45°はわかるものの角HDCが求められません。
三角形DAHで考えても、角ADHを求められません。

残ったのは、三角形HEFです。
ここで、中学入試のむずかしい問題で使う、「正三角形の利用」ではないかと思いつきました。

正三角形角度や面積の問題で特にむずかしい問題を解くとき、正三角形の角度が60°であること、頂点から垂直な線を底辺に引くと辺を二等分できること、角も二等分されて30°になることなどを使うことがあります。





この問題でも、次のように線をかき込んで正三角形を作ったら、やっと解けました。
角度の難問(1)の3正方形ABCDの対角線ACとBDの交点をIとします。
正方形DEFGの対角線DFをひき、点BとFも結びます。

正方形ですからACとBDは垂直であり、DIの長さはBDの半分です。
ゆえに、DIの長さはDFの半分でもあります。

そうすると、三角形DIFは、角DIFが90°で、辺DI:辺DF=1:2となり、角IDF=60°、角DFI=30°の直角三角形であることがわかります(また、三角形DBFは正三角形です)。

ここまでわかったので、いよいよ三角形HEF(図の青色の部分)の角度を求めていきます。
角度の難問(1)の3
角HEFは正方形の角で90°です。

角DFEは直角二等辺三角形の角だから45°
そして、角DFI=30°
よって、角HFE=角DFE-角DFH=45°-30°=15°

以上より、xは105°となります。



この問題は、教育開発出版の新小学問題集に掲載されている灘中学の問題ですが、さすがというかなんというか、私は最初お手上げでした。


次の問題は同じページにのっている早稲田の問題ですが、これも私はすぐには解けませんでした。


問題2:図のように、形も大きさも同じ長方形を3つ重ねたところ、角度の難問(2)2か所の角度がわかりました。x、yの角度はそれぞれ何度ですか。












(解答)
この問題は、わかったら「なあんだ」と思える問題ですが、どうやって解くかを思いつかないと苦戦します。

問題1と同様、このままではおそらく解けません。
補助線をかき込む必要があります。

私も解けるまでにずいぶん苦しんだので、あなたも苦しんでください。
どこに線を引いたら解けるかはすぐには教えません。



では、健闘を祈ります。



算数の全目次はこちら
小学校 算数 分野別学習目次







問題2の補助線と解答

角度の難問(2)の2











x=140°
y=160°

中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。

今回は数列の問題です。

例題:次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


(近畿大学附属中学校21年後期入試問題)

(解き方)
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。



代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

等差数列で何番目かの数を求めるとき

5,13,21,29,37,…の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。

最初の数で、bずつ増える等差数列では、n番目の数は
a+b×(n-1)
の式で求められます。

例えば、5,13,21,29,37,…の数列の100番目の数は何かというと、
5+8×(100-1)となります。

そうなる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。

8ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に1少ない個数です。

最初が5で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,…の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。

等差数列では、最初の数で、bずつ増えるとき、n番目の数は
a+b×(n-1)
です。


等差数列で、数列の和を求めるとき

例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。

5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした
77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。
上と下の、(5+77),(13+69),…の和はすべて82です。

和が82の組が10組あるので、82×10、
これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。

つまり、82×10÷2=410だということになります。

まとめると、最初がabずつ増える数列の、n番目の数までのは(
a,a+b,a+b×2,…,a+b×(n-1)の和は)、
最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)n倍2でわると求めることができるということです。

だから、5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の10個の数列の和は、
(5+7710÷2=410です。


次の問題です。

第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。


代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき

5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列は、
5,5+1,6+2,8+3,…というふうに、前の項より1,2,3,4,…と増えている数列です。

この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…を、
5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,…と書き直します。

そうすると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+…+(n-1)を加えた数だということになります。

最初がaで、前の項より1,2,3,4,…と増えていく数列のn番目は、
a+1+2+3+…+(n-1)だということです。

だから、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列の35番目の数は、
5+(1+2+3+…+34)=
5+(1+34)×34÷2=
5+595=
600

答えは600です。


最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。

第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


第3段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…と、3個の数ごとの組になっています。

各組の最初である、10,28,46…は、10から始まって、18ずつ増える数列です。

300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。
290÷18=16あまり2

最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。

また、各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。
290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。

3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。


知っておいたほうがよい、その他の数列

(1)1,4,9,16,25,36,49…

1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,…と、同じ数をかけた数の列です(同じ数をかけることを2乗といいます)。

知っていないと、案外よく出題されます。


(2)1,3,9,27,81,…

前の数に決まった数をかける数列(例にあげたものは3をかけています)です。

小学生範囲ではあまり出題されません。


(3)1,1,2,3,5,8,13,21,…

1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,…と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。

フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。

算数の全目次はこちら
小学校 算数 分野別学習目次

中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。
まず、規則性の問題です。

例題1:数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
(1)最初から153番目の数は何ですか。
(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

(1,2,3,2,1),(2,3,4,3,2),(3,4,5,4,3),(4,5,6,5,4),(5,6,…

数が5個ずつ組になっていて、n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)となっていることを見つけておきます。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)最初から153番目の数は何ですか。

数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。

153÷5=30あまり3

153は、30組あった後の31番目の組の3個目の数です。

n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)だから、31番目の組にふくまれる数は(31,32,33,32,31)です。

この組の3個目の数だから33が求める数です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。

最後の組がどんな数でできているかを見つけます。

200÷5=40

最後の組は40番目の組であり、(40,41,42,41,40)です。

一の位が1である数は、最初が(1,2,3,2,1)。

次が(9,10,11,10,9)、(10,11,12,11,10)、(11,12,13,12,11)。

次が(19,20,21,20,19)、(20,21,22,21,20)、(21,22,23,22,21
)。

次が(29,30,31,30,29)、(30,31,32,31,30)、(31,32,33,32,31
)。

最後が(39,40,41,40,39)、(40,41,42,41,40)。

一の位が1である数の個数は、最初が2個。
次が、1個+2個+2個の5個。
次も、同じ5個。
次も、同じ5個。
最後が、1個+2個の3個。

以上より、2+5×3+3=20個。


例題2:1から100までの整数を、次のように3つの数の組にならべます。
(1,3,5)、(2,4,6)、(3,5,7)、(4,6,8)、……、(96,98,100)
(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。
(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

3つの数で組になっており、n番目の組は(n,n+2,n+4)となっています。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。

n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。

(234-6)÷3=228÷3=76

最初の数が76だから、第76番目の組です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。

最も簡単な数で、「3つの数の和が24の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。

一番小さい24の倍数は24です。

3つの数の和が24になるとき、その3つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、(6,8,10)です。

次の24の倍数は48です。
このとき、3つの数は、(48-6)÷3=14より、(14,16,18)。

ここで、3つの数の組が(6,8,10)、(6+8,8+8,10+8)になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が8ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、24の倍数も24ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。

3つの数の組の最初の数が、はじめが6、2番目が6+8の14、次が14+8の22、・・・となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が6、14、22、30、…と8ずつふえていけば3つの数の和が24の倍数になり、それ以外に24の倍数はないこともわかります。

8×11=88であり、最初の数である6に88をたすと94ですから、見つけたい組の最後のものは(94,96,98)です。

最初が6で、それから8ずつ増える数が11個あるので、最初の数が6、14、22、…94である3つの数の組の数は、1+11=12組。

答えは12組です。


例題3:図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

白のご石は1、3、5、…とならんでいます。
黒のご石は2、4、6、…とならんでいます。

つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。

ご石は、1、2、3、…、16、17とならんでいます。
(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の組ができたあと、最後に17が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の8組目までは、各組とも偶数のほうが1だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より8個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が17個あります。

以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。

合わせて100個であることも念頭において考えてみましょう。

1から10までの数の和55であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。

1+2+3+…+9+10=55

そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78

ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。

次は13個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。

その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は50個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。

残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。

算数の全目次はこちら
小学校 算数 分野別学習目次

このページのトップヘ