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他の科目はそこそこできるのに国語ができないという人は多い。「どうしたら国語ができるようになるでしょうか?」とよく尋ねられもします。

「国語ができない」原因には、実は2つのものがあります。

ほとんどの人は、それを区別して論じようとしない、そこに国語の勉強法に関する議論の混乱のもとがあるように思われます。


問題を解くために必要な2つのもの

人間が何かをできるようになるために必要なものは2つです。

スポーツであれば、1つは基礎体力、もう1つはその競技に勝つために必要な技術です。

勉強もしかり。

問題を解くための前提である基礎学力がなければ問題は解けません。

もう一つは技術です。問題を解くためには、教科によってそれぞれ正解を導き出すために必要な技術があって、それを習得していないとよい点はとれません。

国語という教科でも、この2つを区別して論じないといけません。


国語の問題を解くための基礎

国語に関していうと、問題を解くための基礎的な学力、能力に当たるものは、「知識」と読む「速さ」です。

知識の不足している人は、文を読んだって内容を理解できませんから正解にはたどり着けません。

読む速さが遅い人は、問いについて考えて答えを探す時間が足りないので点数はとれません。

では、どうしたら知識を増やして読む速さを速くすることができるかというと、これは長い間の、文章を読むという経験の積み重ねしかありません。

国語ができない人に、「新聞を読みなさい」、「本を読みなさい」とすすめる人がいます。
完全な正解だとは思いませんが、一面の真理をふくんでいます。
何であれ文章を読まないと、知識も、読む速さも身にはつかないからです。

注意しないといけないのは、文章を読むための基礎的な能力は、筋肉が1日ではつかないように、何日も何年も文章を読み続けないと身にはつかないということです。

試験前に一夜漬けで読書をしたって、国語のテストの点数は1点もあがりません。長い間の地道な積み重ねが必要です。

だからといって、あきらめてもいけません。
1日では効果は目に見えませんが、数日、あるいは1週間もすれば確実に進歩はし始めます。

最初の一歩を踏み出した人だけが、前に進めるのです。


国語の問題の特殊性

「本はよく読んでいるのに国語の点数が悪い」という人もいます。

国語も1つの教科ですから、教科特有の、問題を解くために必要な技術があります。

国語に関して広まっている嘘のうち一番罪深いのは、「数学などは答えは1つだが、国語はいくつもの正解がある」という根拠のない嘘です。

逆です。

数学は論理さえ正しければ、正解にたどり着くいくつもの道があります。
しかし、国語の正解に到達する道筋は、科目の性質上、絶対に一つです。

「科目の性質上」と言ったのは、国語の正解と、他の科目の正解とは、1つだけ大きな違いがあるからです。

国語以外の科目は、数学も理科も社会も英語さえも、客観的に正しいとされる答えがあることを前提とします。
問題の作成者も、問題の正解を自分で勝手に作ることはできません。問題を出した人も、客観的に正しいとされている答えの支配下にある点では、問題を出された人と立場は同じです。
先に答えは存在していて、出題者はそれを問うているだけです。

ところが、国語の読解問題だと、先に正解は存在していません(漢字や知識の問題は違います、他の科目の正解と同様、先に正解が存在します)。
問題の作成者は、まず本文を提示します。
次に、本文中にある言葉を手がかりに、ある解釈が唯一の正解であると作成者自身が考える正解に誘導できるように問題文を作成します。

問題作成者だけが、問題の正解を設定できるのです。問題を解く人は、出題者が正解だと設定した答えを書かないと正解にはなりません。
問題文を提示して、それについて問いを発した人が要求している答え以外に、国語の正解はありえないのです。

だから、国語の問題を解くための技術とは、その、出題者が求める唯一の正解を導き出すための技(わざ)だということになります。


国語の問題を解くための技術とは

国語の正解は厳密に1つです。

そして、その唯一の正解とは、出題者が要求している答えです。

国語の問題を解くための技術とは、その、出題者が求める唯一の正解を導き出すための技(わざ)のことです。

ところで、正解は自分で勝手に決めることができる国語の出題者ですが、問題作成者も守らないといけないルールが1つだけ存在します。

「何が正解であるかの根拠になる文言を、問題の本文か、問いの文の中に提示しておかないといけない」というきまりです(解くための手がかりのない問題は、もはや「問題」とはいえません)。

ですから、国語の問題を解くための技術とは、出題者が最初に提示した本文と、問いの文章から、出題者が要求する正解の手がかりとなる言葉を探し出す技術だということになります。


次稿『国語の読解問題を解くために必要な技術(2)』で、国語の正解を導き出すための技術について、実際の問題を用いてさらに具体的に述べたいと思います。



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数学や理科は公式・定理を使わないと問題を解けませんが、国語の読解問題だと、ただ雰囲気で解いていませんか。
実は国語の読解問題にも、正解にたどりつくための公式が存在します。


(1)解く前の心構え

・あなたがどう思うかではなくて、問題を作った人がどんな解答を求めているのかを常に考えて解答を作る。
・できるだけ本文中の言葉を使って解答を作成する。
・「ここにこう書いてあるからこれが答えだ」という、答えが生まれる確かな根拠が絶対に必要であることを知る。
・簡単な問題の正解は問いの傍線部の近くに、難しい問題ほど正解は問いの傍線部から離れた場所にある。


(2)解答の書き方

・解答がであるときは文末に句点(。)をつける。
・抜き書きをする問題では、問いに「」とあれば、「。」のあとから「。」までを書く。「部分」とあれば、文の一部を答える。
理由を尋ねる問題では、原則として解答は文末を「~から。」とまとめる。
・「~とはどういうことか」を聞く問題では、解答の最後に「~こと」とつける。
・本文の正解にあたる部分をそのまま書いたら長すぎるときは、本文中の言葉をできるだけ使って問いに合う短い文を作る。


(3)指示語のさす内容を答えさせる問題

・指示語がさし示す語は(原則として)指示語のにある。
・指示語の問題が正解かどうかは、解答と考える語を指示語の部分にあてはめて確かめる。
・問題に合わせて、指示語の部分にあてはまる形に解答を変化させる。


(4)接続語を入れる問題

・接続語を探す問題では、接続語が入る場所の直前の文と直後の文を読み直し、関係をつかむ。


(5)文章の要点をとらえる問題

・段落の中心になる文を見つける。
・例示や比喩ではなく、まとめにあたる文を探す。
・繰り返し出てくるキーワードを見つける。
・キーワードは別の語に言い換えられてたびたび出現することが多い。
対比されている言葉と言葉を見つける。


(6)段落の関係をつかむ問題

・段落冒頭の文の接続語をヒントにする。
・筆者の主張や意見は文章の最後に出てくるのが原則である。


(7)文章全体の要旨をつかむ問題

・筆者が結論を述べている文を探す。
・筆者の意見主張にあたる文を探す。


(8)登場人物の心情をとらえる問題

・登場人物の行動から心情を推測する。
情景を述べた文に込められた気持ちを推測する。
・比喩表現にあらわれた心情を推測する。


(9)登場人物の人物や性格をとらえる問題

・国語の問題では完全な悪人は出てこない。(例)父親の性格を尋ねる問題で、「子どものことを全く考えない冷酷な人」が正解になることはない。「頑固で不器用だが、子どものことを心の奥底では理解し心配している」のように、一見ワルだが実は・・・が正解。


(10)理由にあたる部分を見つけさせる問題

・傍線部の前に理由があるときは、傍線部は「だから」「そのため」などで始まることが多い。
・傍線部の後に理由があるときは、理由にあたる部分が「なぜなら」などで始まるか、文末が「~ためである」や「~わけである」等で終わることが多い。


(11)表現技法の効果を尋ねる問題

・比喩・・・印象を強める。
・体言止め・・・余韻を残す。
・対句・反復法・・・リズム感が生まれる。
・倒置・・・強調したい事柄を明示する。


(12)文章の主題を尋ねる問題

小説・・・登場人物の心情の推移が主題である。
随筆・・・筆者の感動したことを中心に主題を見つける。


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沖縄県中学偏差値ランキング2015

沖縄県の中学偏差値をランキングで一覧で表示しています。中学受験の参考にしてください。

偏差値中学名私立/公立共学/別学ほぼ合格偏差値見込みアリ偏差値ランク
63昭和薬科大学附属中学校私立共学66以上60以上B
56沖縄尚学高等学校附属中学校
 [尚学パイオニアコース]
私立共学59以上53以上C
51沖縄尚学高等学校附属中学校
[尚学チャレンジャーコース]
私立共学54以上48以上D
49興南中学校私立共学52以上46以上E
48沖縄カトリック中学校私立共学51以上45以上E
48与勝緑が丘中学校県立共学51以上45以上E

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長野県中学偏差値ランキング2015

長野県の中学偏差値をランキングで一覧で表示しています。中学受験の参考にしてください。
※公立は(県立・都立・府立・道立・国立)になります。

※学校名内の[]はコースを示しています。

偏差値中学名私立/公立共学/別学合格安全圏見込みアリ偏差値ランク
61佐久長聖中学校私立共学64以上58以上B
54長野日本大学中学校私立共学57以上51以上D
53松本秀峰中等教育学校私立共学56以上50以上D
52信州大学教育学部附属長野中学校国立共学55以上49以上D
52信州大学教育学部附属松本中学校国立共学55以上49以上D
52長野清泉女学院中学校私立女子校55以上49以上D


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3つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺(斜辺(しゃへん))と一番短い辺とは常に長さが2:1になります。
図1








なぜ、2:1になるのか?

(1)分割して見つける方法
図2修正角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。

(2)円を使って見つける方法
図3中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2:1であることを使う問題

例題:かげをつけた部分の面積を求めなさい。
図4










(解き方と解答)
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。
図5





まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・(1)

次に、三角形ABOの面積を求めます。
図6底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO:AH=2:1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・(2)

(1)(2)より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6


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取り上げる問題は、2問とも時間内に私が解けなかった問題です。

(解答を見ないで自分だけの力で解けたら「師匠」と呼ばせていただきますのでチャレンジしてみてください。)


問題1:図で四角形ABCDと四角形DEFGは同じ大きさの正方形で、点Cは角度の難問(1)AとFを結ぶ直線上にあります。xの角の大きさは何度ですか。













(解答)
ACが正方形の対角線だから三角形DACは直角二等辺三角形であり、角DACや角DCAが45°であることはわかります。
それがわかった後、いろいろ考えたのですが、すぐにはわかりませんでした。

AFとDEの交点をHとします。
角度の難問(1)の2
角度の問題は、求めたい角度に関係のある三角形を見つけて、その三角形で考えるのが鉄則です。

まず、三角形DHCで考えましたが、角DCH=45°はわかるものの角HDCが求められません。
三角形DAHで考えても、角ADHを求められません。

残ったのは、三角形HEFです。
ここで、中学入試のむずかしい問題で使う、「正三角形の利用」ではないかと思いつきました。

正三角形角度や面積の問題で特にむずかしい問題を解くとき、正三角形の角度が60°であること、頂点から垂直な線を底辺に引くと辺を二等分できること、角も二等分されて30°になることなどを使うことがあります。





この問題でも、次のように線をかき込んで正三角形を作ったら、やっと解けました。
角度の難問(1)の3正方形ABCDの対角線ACとBDの交点をIとします。
正方形DEFGの対角線DFをひき、点BとFも結びます。

正方形ですからACとBDは垂直であり、DIの長さはBDの半分です。
ゆえに、DIの長さはDFの半分でもあります。

そうすると、三角形DIFは、角DIFが90°で、辺DI:辺DF=1:2となり、角IDF=60°、角DFI=30°の直角三角形であることがわかります(また、三角形DBFは正三角形です)。

ここまでわかったので、いよいよ三角形HEF(図の青色の部分)の角度を求めていきます。
角度の難問(1)の3
角HEFは正方形の角で90°です。

角DFEは直角二等辺三角形の角だから45°
そして、角DFI=30°
よって、角HFE=角DFE-角DFH=45°-30°=15°

以上より、xは105°となります。



この問題は、教育開発出版の新小学問題集に掲載されている灘中学の問題ですが、さすがというかなんというか、私は最初お手上げでした。


次の問題は同じページにのっている早稲田の問題ですが、これも私はすぐには解けませんでした。


問題2:図のように、形も大きさも同じ長方形を3つ重ねたところ、角度の難問(2)2か所の角度がわかりました。x、yの角度はそれぞれ何度ですか。












(解答)
この問題は、わかったら「なあんだ」と思える問題ですが、どうやって解くかを思いつかないと苦戦します。

問題1と同様、このままではおそらく解けません。
補助線をかき込む必要があります。

私も解けるまでにずいぶん苦しんだので、あなたも苦しんでください。
どこに線を引いたら解けるかはすぐには教えません。



では、健闘を祈ります。



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問題2の補助線と解答

角度の難問(2)の2











x=140°
y=160°
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中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。

今回は数列の問題です。

例題:次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


(近畿大学附属中学校21年後期入試問題)

(解き方)
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。



代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

等差数列で何番目かの数を求めるとき

5,13,21,29,37,…の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。

最初の数で、bずつ増える等差数列では、n番目の数は
a+b×(n-1)
の式で求められます。

例えば、5,13,21,29,37,…の数列の100番目の数は何かというと、
5+8×(100-1)となります。

そうなる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。

8ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に1少ない個数です。

最初が5で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,…の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。

等差数列では、最初の数で、bずつ増えるとき、n番目の数は
a+b×(n-1)
です。


等差数列で、数列の和を求めるとき

例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。

5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした
77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。
上と下の、(5+77),(13+69),…の和はすべて82です。

和が82の組が10組あるので、82×10、
これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。

つまり、82×10÷2=410だということになります。

まとめると、最初がabずつ増える数列の、n番目の数までのは(
a,a+b,a+b×2,…,a+b×(n-1)の和は)、
最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)n倍2でわると求めることができるということです。

だから、5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の10個の数列の和は、
(5+7710÷2=410です。


次の問題です。

第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。


代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき

5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列は、
5,5+1,6+2,8+3,…というふうに、前の項より1,2,3,4,…と増えている数列です。

この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…を、
5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,…と書き直します。

そうすると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+…+(n-1)を加えた数だということになります。

最初がaで、前の項より1,2,3,4,…と増えていく数列のn番目は、
a+1+2+3+…+(n-1)だということです。

だから、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列の35番目の数は、
5+(1+2+3+…+34)=
5+(1+34)×34÷2=
5+595=
600

答えは600です。


最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。

第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


第3段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…と、3個の数ごとの組になっています。

各組の最初である、10,28,46…は、10から始まって、18ずつ増える数列です。

300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。
290÷18=16あまり2

最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。

また、各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。
290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。

3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。


知っておいたほうがよい、その他の数列

(1)1,4,9,16,25,36,49…

1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,…と、同じ数をかけた数の列です(同じ数をかけることを2乗といいます)。

知っていないと、案外よく出題されます。


(2)1,3,9,27,81,…

前の数に決まった数をかける数列(例にあげたものは3をかけています)です。

小学生範囲ではあまり出題されません。


(3)1,1,2,3,5,8,13,21,…

1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,…と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。

フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。

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中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。
まず、規則性の問題です。

例題1:数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
(1)最初から153番目の数は何ですか。
(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

(1,2,3,2,1),(2,3,4,3,2),(3,4,5,4,3),(4,5,6,5,4),(5,6,…

数が5個ずつ組になっていて、n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)となっていることを見つけておきます。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)最初から153番目の数は何ですか。

数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。

153÷5=30あまり3

153は、30組あった後の31番目の組の3個目の数です。

n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)だから、31番目の組にふくまれる数は(31,32,33,32,31)です。

この組の3個目の数だから33が求める数です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。

最後の組がどんな数でできているかを見つけます。

200÷5=40

最後の組は40番目の組であり、(40,41,42,41,40)です。

一の位が1である数は、最初が(1,2,3,2,1)。

次が(9,10,11,10,9)、(10,11,12,11,10)、(11,12,13,12,11)。

次が(19,20,21,20,19)、(20,21,22,21,20)、(21,22,23,22,21
)。

次が(29,30,31,30,29)、(30,31,32,31,30)、(31,32,33,32,31
)。

最後が(39,40,41,40,39)、(40,41,42,41,40)。

一の位が1である数の個数は、最初が2個。
次が、1個+2個+2個の5個。
次も、同じ5個。
次も、同じ5個。
最後が、1個+2個の3個。

以上より、2+5×3+3=20個。


例題2:1から100までの整数を、次のように3つの数の組にならべます。
(1,3,5)、(2,4,6)、(3,5,7)、(4,6,8)、……、(96,98,100)
(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。
(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

3つの数で組になっており、n番目の組は(n,n+2,n+4)となっています。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。

n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。

(234-6)÷3=228÷3=76

最初の数が76だから、第76番目の組です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。

最も簡単な数で、「3つの数の和が24の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。

一番小さい24の倍数は24です。

3つの数の和が24になるとき、その3つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、(6,8,10)です。

次の24の倍数は48です。
このとき、3つの数は、(48-6)÷3=14より、(14,16,18)。

ここで、3つの数の組が(6,8,10)、(6+8,8+8,10+8)になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が8ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、24の倍数も24ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。

3つの数の組の最初の数が、はじめが6、2番目が6+8の14、次が14+8の22、・・・となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が6、14、22、30、…と8ずつふえていけば3つの数の和が24の倍数になり、それ以外に24の倍数はないこともわかります。

8×11=88であり、最初の数である6に88をたすと94ですから、見つけたい組の最後のものは(94,96,98)です。

最初が6で、それから8ずつ増える数が11個あるので、最初の数が6、14、22、…94である3つの数の組の数は、1+11=12組。

答えは12組です。


例題3:図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

白のご石は1、3、5、…とならんでいます。
黒のご石は2、4、6、…とならんでいます。

つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。

ご石は、1、2、3、…、16、17とならんでいます。
(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の組ができたあと、最後に17が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の8組目までは、各組とも偶数のほうが1だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より8個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が17個あります。

以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。

合わせて100個であることも念頭において考えてみましょう。

1から10までの数の和55であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。

1+2+3+…+9+10=55

そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78

ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。

次は13個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。

その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は50個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。

残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。

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集合の問題(重なりの問題)の解き方を考えます。

例題1:36人のクラスで算数のテストをおこないました。問題数は2問で、2問とも正解した人は9人、問い1の正解者は20人、問い2の正解者は12人でした。
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。



ベン図

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
ベン図左図のように、クラス全体を長方形で表し、問い1と問い2の正解者をそれぞれ2つの円で表します。
どちらにも含まれる人(両方とも正解した人)があるときは一部が重なった2つの円で表します。

問題を解くとき、このベン図に数値を書き込むと簡単に解くことができます。







ベン図に数値を書き込んだものが次の図です。
例題1
問い1の正解者20人は、問い1だけを正解した人と問い2も正解した人を含んでいます。
このようなとき、円の内部に書き込まないで、両方を含んでいることがひと目でわかるように、問い1を表す線上に20と書き込むと後で混同しません。

問い2の正解者12人も同じように問い2を表す線の上に書き込みます。

両方の問題の正解者9人は、混同するおそれがないので、線上ではなくて内部に9と書き込みます。

例題1の2
そのあと、問い1だけの正解者を求めて(20-9=11)図の内部に書き込み、問い2だけの正解者を求めて(12-9=3)図の内部に書き込むと、視覚的にはっきりして悩まずに解くことができます。


(解答)
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
20-9=11
11人です。

(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。
36-(11+9+3)=13
13人です。

この例題は、20+12=32は両方とも正解の人数9人を1回だけダブって数えているから、36-(20+12-9)=13と、「頭で」考えても解くことができます。
しかし、ベン図を使い、それぞれの部分だけの人数を線上ではなくて内部に11、9、3と書き込むことで、「目で」確かめながら、「確信をもって」「正確に」解くことができます。


例題2:あるクラスで、ソフトボール部に入っている人は13人、コーラス部に入っている人は20人、水泳部に入っている人は7人です。水泳部だけに入っている人は2人います。ソフトボール部と水泳部の両方に入っている人はいません。また、3つのクラブに入っている人もいません。クラブに入っている人は全部で28人います。
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。
(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。


3種類の部分集合(重なり:この例題だとソフトボール部、コーラス部、水泳部)があるとき、ベン図は次の図になります。
ベン図の2









この図に、まず、問題文に出てきた数値を書き込みます。
例題2
左のベン図から、コーラス部と水泳部の両方に入っている人は7-2=5人だとわかります。

さらに、水泳部だけに入っている人が2人であることからソフトボール部かコーラス部に入っている人は28-2=26人とわかります。

すると、ソフトボール部とコーラス部の両方に入っている人は、13+20-26=7人です。

これで、ベン図の中のすべての図の内部の人数がわかります。
例題2の2
(解答)
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。

左図より、
7+5=12人

(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

左図より、13-7=6人


このように、ベン図を書いて、その図の内部に、その集合だけに含まれる個数を書いていくと、集合(重なり)の問題は簡単に解くことができます。


例題3:39人のクラスで、それぞれ100点満点の算数と国語のテストをしました。算数だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人でした。また、国語だけが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかったそうです。国語だけが70点以上の人は何人ですか。

(解答)
例題3ベン図より、
11+□+□×2-5=39-6
□+□×2-5=39-6-11
□+□×2-5=22
□+□×2=27
□×3=27
□=9

国語だけが70点以上の人は、9×2-5=13人







(まとめ)
1、集合の問題を解くときはベン図を利用する。
2、1つだけの集合を表す数値は図の内部に書き込み、2つ以上の集合にまたがっている数値は線上に書き込む。




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1から10までの整数をたして、その和を求めたことがあると思います。
1+2+・・・+9+10=55

では、1から100までの整数の和はいくらになるでしょうか。
正直に、順にたしていくのは大変です。
なにかよい工夫はないでしょうか?


逆に並べた整数の組を利用して解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100、この整数の和を求めるのに、
100+99+98+・・・+3+2+1と、同じ整数を逆に並べたものを利用します。

1+2+3+・・・+98+99+100
100+99+98+・・・+3+2+1

上下に並んだ1と100、2と99、3と98、・・・の2数の和は101です。

そして、その101の組が(1+100)、(2+99)、(3+98)、・・・、(98+3)、(99+2)、(100+1)と100組あります。

同じものを2つ用意したものの和が101×100組ですから、1から100までの整数の和はその半分です。

以上より、
1+2+3+・・・+98+99+100
=((1+2+3+・・・+98+99+100)+(100+99+98+・・・+3+2+1))÷2
=(1+100)×100÷2
=5050


ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×1000÷2=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+nと、逆に並べた
n+(n-1)+(n-2)+・・・+3+2+1を利用します。

上下に並んだ2つの整数の和は、
1+n
2+(n-1)=1+n
3+(n-2)=1+n・・・
と、すべて(n+1)です。

そして、(n+1)になる2数の組がn組あります。

2列の整数の和が(n+1)×n組で、これが、求めたい1+2+・・・+(n-1)+nの2倍です。

だから、1からnまでの整数の和は、(n+1)×n÷2で求められます。


同じ和になる2組の数を見つけて解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100

1から100までの整数を並べてみると、左側は1+2+3+・・・と、1ずつ増加します。
右側の・・・+98+99+100を100からもどって眺めると、1ずつ減少しています。

ということは、最初の1と最後の100、2番目の2と最後から2番目の99、3番目の3と最後から3番目の98、・・・それぞれの組の和はすべて101です。

そして、100までには、たして101になる2数の組が100÷2=50組あります。

以上より、1+2+3+・・・+98+99+100=101×50=5050となることがわかります。
101








ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×(1000÷2)=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1からnまでの整数の和は、
1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+n
=(1+n)×(n÷2)
=(1+n)×n÷2

整数の和


以上の求め方は、nが偶数のときを念頭においています。


(小学生にはやや難しいのですが、nが奇数のときは以下のようになります。)

nが奇数のとき、1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+nで、
1+(n-1)、2+(n-2)、・・・と、最後のnを除いて組を作ったらわかりやすい。
1+(n-1)=n
2+(n-2)=n・・・の組が、(n-1)÷2組あり、その和にnを加えたものが、1からnまでの整数の和です。


整数の和2
















このように、nが奇数のときでも、同じ公式をつくることができます。



まとめ

1から10までの整数の和は、(1+10)×10÷2=11×5=55

1から100までの整数の和は、(1+100)×100÷2=101×50=5050

1からnまでの整数の和は、(1+n)×n÷2




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