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2013年06月

算数・数学の問題でありながら、言葉とその意味を知らないと解けない問題に売買・代金の問題があります。


お店の人がものを売るときの仕組み

売買の問題の予備知識として、商品を売るという仕事の仕組みを知っておく必要があります。

店で物を売る仕事を小売業といいます。あなたがおもちゃ屋さんだとします。
あなたはおもちゃのメーカー(生産者)か問屋(とんや)さん(卸売り(おろしうり))からおもちゃを仕入れて(買って)きて、それをお客さん(消費者)に売るわけです。

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お店の人は、安い値段で仕入れてきて、それに自分の利益(もうけ)を加えた値段でお客さんに売ります。

仕入れた値段と売った値段の差額が利益であり、お店は利益を出さないとつぶれてしまいます。


原価・仕入れ値・元値

お店の人が、生産者か、卸売り(おろしうり)業者から買うときの値段を原価(げんか、元価とも書きます)=仕入れ値(しいれね)=元値(もとね)といいます。


定価

お店の人は原価(仕入れ値・元値)に利益(もうけ)を加えたものを定価として値をつけて陳列します。

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最初に値札としてつけたものが定価です。

定価で売れたら、定価が売り値(売価・代金)と一致します。


売り値・売価・代金

定価で売れなかったとき、お店の人は値段を下げて売ることがあります。

このとき、定価から値引きして、実際に売った値段が売り値=売価(ばいか)=代金です。

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値引きして売ったときは、売り値から仕入れ値をひいた金額が最終的な利益になります。

売り値-仕入れ値=(最終の)利益



まとめ

お店の人が仕入れたときの値段…原価=仕入れ値=元値

お店の人が最初につけた値段…定価

実際に売った値段…売り値=売価=代金


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多くの人が苦手な問題に、利益割引の問題があります。
利益と割引の問題を簡単に解く方法を考えてみましょう。


代表的な問題は次のような問題です。

例題1:ある品物を4000円で仕入れ、4割の利益を見込んで定価をつけましたが、この品物を大売り出しの日に定価の1割5分引きで売りました。売り値は何円ですか。

(解き方)
まず、仕入れ値利益定価売り値などの、言葉の意味を知っておかないといけません。

次に、「4割利益を見込んだ定価」とあるとき、定価を仕入れ値の1.4倍と考えます。

「4割の利益」だけなら、0.4倍です(4割を0.4倍と考える理由についてはこちらを参照してください)。
4割の利益を求める式なら、4000×0.4=1600円です。

しかし、「4割利益を見込んだ定価」のときは、1.4倍と考えないといけません。
利益4000円で仕入れた品物を1600円で売ったのでは大損です。
お店の人は、仕入れ値に利益(もうけ)をたした金額で売ろうとするのです。これが定価です。
もともとの数量が1倍で、それに0.4倍をたした金額が定価ですから、定価を仕入れ値の1.4倍と考えるわけです。

4割利益を見込んだ定価」→(1+0.4)倍→1.4倍と覚えます。

次に、「1割5分引き」も0.15ではありません。
1割5分だと0.15倍ですが、「1割5分引き」だと、もとの1から0.15を引かないといけません。
割引1割5分で売るのではなくて、定価から1割5分引いて売るのだから、売り値の割合は1-0.15=0.85倍です。

1割5分引き」→(1-0.15)倍→0.85倍と覚えます。

以上より、この問題は、4000円で仕入れ、「4割の利益を見込んで定価をつけた」から「×(1+0.4)」、「1割5分引き」だから「×(1-0.15)」となるわけです。

4000×(1+0.4)×(1-0.15)
=4000×1.4×0.85
=4760円
となります。


(ポイント)

利益たす
引きからひく

このことを理解し、覚えて使うことができれば、利益と割引の問題は簡単になります。


例題2:ある品物に、原価の4割の利益を見込んで定価をつけました。しかし、定価から20%引きの1792円で売りました。このときの利益は何円ですか。

(解答)
覚えた
4割の利益」→1+0.4=1.4
20%引き」→1-0.2=0.8
を、使います。

仕入れ値の1.4倍の、0.8倍が、1792円になったわけです。

よって、仕入れ値は、
1792÷0.8÷1.4=1600円

求めないといけないのは「利益」です。
1600円で仕入れた品物を1792円で売ったので、もうけ、利益は
1792-1600=192円です。


次の問題は、しばしば中学入試でも出題されるやや難しい問題です。

例題3:ある品物に仕入れ値の3割の利益を見込んで定価をつけましたが、売れないので、定価の15%引きで売ったところ、1890円の利益がありました。この品物の仕入れ値はいくらですか。

(解答)
やはり
3割の利益」→1+0.3=1.3
15%引き」→1-0.15=0.85
を、使います。

ところが、この問題の場合、わかっているのは利益の1890円です。
利益の1890円が何倍になっているのかを先に見つけます。

仕入れ値の何倍で売ったかというと、
1.3×0.85=1.105

だから、利益の割合は仕入れ値の1をこえた部分、1.105-1=0.105です。

0.105倍が1890円だから、仕入れ値は
1890÷0.105=18000円です。


このように、利益と割引の問題では
利益たす
引きからひく
を覚えておいて、使えばよいのです。

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小学生が一番苦手な割合の問題を楽に解くために、みなさんに提案したい1つの試案です。

割合
百分率(%)、歩合(割・分・厘)の問題は「~倍」をつけると超簡単になります。


整数の場合

100円の2倍はいくらか?
誰が考えたって、100×2=200円です。・・・(1)

あるものの3倍が300個だった、あるものは何個か?
すぐに300÷3=100個だとわかります。・・・(2)

400mは100mのどれだけか?
400÷100=4ができない人はいないでしょう。・・・(3)


小数の割合、分数の割合

割合が小数分数の場合、単位のないもの~倍をつけたら、整数の問題と同じ簡単な問題になります。

100円の0.2はいくらか?
100円の0.2と考えると、100gの2倍と同じです。
100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの0.3が300個だった、あるものは何個か?
あるものの0.3300個だと考えると、あるものの3倍が300個のときと同じです。
300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mに対する割合はいくらか?
400mは100mの何かと同じです。
400÷500=0.8です。・・・(3)


百分率

まず、百分率(%)の場合、%は、そのままでは計算では使えません。
1%0.01に、10%0.1にかえて、計算します。
2%だと0.02、20%だと0.2、25%だと0.25にしてから計算します。

%小数にかえたあと、その小数に~をつけて考えます。
%



100円の20%はいくらか?
100円の20%→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの30%が300個だった、あるものは何個か?
30%0.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.880%です。・・・(3)


歩合

歩合も、%とまったく同じです。

まず、歩合(~割~分~厘)の場合も、割・分・厘は、そのままでは計算では使えません。
1割0.1に、1分0.01に、1厘0.001にかえて、計算します。
2割だと0.2、2分だと0.02、2割3分4厘だと0.234にしてから計算します。

小数にかえたあと、その小数に~をつけて考えます。
割



100円の2割はいくらか?
100円の2→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの3割が300個だった、あるものは何個か?
30.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.88です。・・・(3)



この方法が有効かどうか、実際の問題で試してみましょう。

例題1:容積2500Lの水そうの9割4分に水が入っている。入っている水の量はは何Lですか。

9割4分→0.94倍と読みかえます。
2500Lの0.94倍を求める問題だから、2500×0.94=2350L

例題2:庭の面積の56%が花畑です。花畑の面積は476平方mです。庭全体の面積はいくらですか。

56%→0.56倍と読みかえます。
庭の0.56倍が476だったので、476÷0.56=850平方mです。

例題3:A君の学校の生徒数は840人で、そのうち630人は自転車で通学しています。自転車で通学している生徒数の割合は何%ですか。

自転車で通学している生徒数は何%かを、何倍かと読みかえます。
自転車で通学している生徒数は全生徒数の何倍かという問題だから、630÷840=0.75倍
=75%



覚えるのも大変だし、覚えたって実際には使いにくい、割合の3つの式
(1)比べる量=もとにする量×割合
(2)もとにする量=比べる量÷割合
(3)割合=比べる量÷もとにする量
を覚えるより、~倍をつけるだけのほうがずっと簡単に解けるようになるのではないでしょうか?

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割合の単元は、速さとならんで小学生がもっとも苦手とする分野です。
指導する私たちもいろいろ工夫をしますが、なかなかうまくいきません。


割合の3つの公式

算数の単元、『割合』では3つの式が出てきます。

1:割合=比べる量÷もとにする量
2:比べる量=もとにする量×割合
3:もとにする量=比べる量÷割合

割合の問題が難しい根本的な理由は、ここで出てくる3つの言葉、「割合」、「比べる量」、「もとにする量」が、子どもたちにとって外国語以上に意味不明なところにあります(教えているほうも、きちんとわかっているかどうか疑問です)。

割合の問題を上手に解くには、3つの言葉の意味を明瞭にすることしかないように思われます。


割合

まず、「割合」の言葉の意味を、「割合=比べる量÷もとにする量」を使って解くと思われている問題を例に考えてみましょう。

割合とは、『何倍か』という意味です。

「何倍か」と言えばよいのに「割合」の語をもちいるのは、普通「何倍か」というときは、2倍とか3倍とか1.5倍とか、1以上の数になることが多いのに対して、割合の場合は0.7倍とか0.3とか30%とか3割とかの、1より小さい数、全体の中の一部を表すことが多いからです。
「倍」には「大きくなる」というニュアンス、「割」には「小さくなる」というにおいが感じられます。

割合を習うまで、小学生の解くわり算は必ず「大きい数÷小さい数=1より大きい数」です。
割合の問題は逆に「小さい数÷大きい数=1より小さい数」であることがほとんどです。
そのことをはっきりと知っておかないといけませんが、それ以外では「割合」=「何倍か」と言い換えるとわかりやすくなります。

例題1:Aさんの体重が40kg、Bさんの体重が32kgであるとき、Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくらですか。

「Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくら」の部分を、「BさんはAさんの何倍か」と読み替えると、はるかに簡単になります。

「BさんはAさんの何倍か」ですから、B÷A、32÷40=0.8倍です。

割合=比べる量÷もとにする量の式に苦労して当てはめるよりずっと楽だと思います。


もとにする量

比べる量=もとにする量×割合のタイプの問題を、「もとにする量」の意味を探ることで考えてみましょう。

「もとにする量」は、「割合」=「何倍か」ほど単純ではありません。
「もとにする量」にはいくつかの意味があります。

もともとは、「もと」とは「基準にする量」の意味です。

例題2:お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍です。ゆう子さんの身長が140cmのとき、お兄さんの身長は何cmですか。

「お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍」とは、ゆう子さんの身長を『基準』にしたとき、お兄さんの身長がその1.1倍という意味です。

それさえわかれば、140cmの1.1倍だから、140×1.1=154cmとすぐわかります。
この問題のように、基準にする量がわかっているとき、かけ算で答えを求めることができます。

いまの子どもたちは、「もと」という和語より「基準」という漢語のほうが意味をとらえやすいようです。

もとにする量」の2番目の意味は、『全体』です。

例題3:小学校のしき地の面積が8000平方mであり、その0.35の割合にあたる部分が校舎の土地の面積である。校舎の土地の面積は何平方mですか。

しき地全体の面積が8000で、その0.35倍が校舎の面積なので8000×0.35=2800平方mです。
この問題のように、全体がわかっていてその一部を求めるときもかけ算になります。

この場合、小学校のしき地8000を『基準』にしたとき、その0.35倍が校舎だから8000×0.35と考えるより、全体8000のうちの0.35だから8000×0.35と考えるほうが、子どもたちの実際の頭の使い方に即しているように思われます。

もとにする量」の3番目の意味は、去年と今年のうち去年のように、時間の流れの中で『に起こった方』、『の方』の意味です。

例題4:去年のジャガイモの取れ高は90tだった。今年のジャガイモの取れ高は去年の取れ高の0.95にあたる。今年の取れ高はいくらか。

去年がわかっていて、その0.95倍だから90×0.95=85.5tです。

この問題のように、時期的な前の方、去年がわかっていて、後の方、今年を求めたいときもかけ算です。

「比べる量=もとにする量×割合」を100万遍唱えたって、上のような問題が解けるようになるとは思われません。
基準になる量がわかっているとき」、「全体の量がわかっているとき」、「順番の前の方の量がわかっているとき」、かけ算で答えを求めると考えた方がずっと実際の役にたちます。


比べる量


「もとにする量=比べる量÷割合」のカテゴリーに入る問題群を使って、「比べる量」の語の意味を最後に考えます。

先に結論を述べると、「比べる量」の意味を考えてもあまり役には立ちません。
「比べる量」とは、「もとにする量」との対比から生まれた概念であり、言い換えれば「もとにする量」と対照される後が「比べる量」であり、「もとにする量」を表だと考えると「比べる量」はその裏に過ぎないからです。
「もとにする量」でないもの、「もとにする量」の反対概念が「比べる量」です。

したがって、「基準になる量」ではなくて「比較される方の量」、「全体」ではなくて「部分」、連続した事項のうちの「前」ではなくて「」の方が「比べる量」です。

そして、「比べる量」がわかっているとき、割合でわると「もとにする量」がわかるということになります。
「もとにする量=比べる量÷割合」の式が表しているのは以上のような意味です。

妹の体重が36kgで姉の0.9にあたるときの姉の体重を求める問題(基準にあたる量を求める問題)、
貯金の0.4にあたる金額で2000円の本を買ったときにもとの貯金額全体を求める問題(全体にあたる量を求める問題)、
今年の売り上げ1210000円が去年に比べて1.1倍であるときの去年の売上高を求める問題(前後の流れのうち、前の方を求める問題)などが、
「もとにする量=比べる量÷割合」といわれる問題だということになります。


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前の、『素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数』の続きです。

素数(そすう)というのは、「1より大きい整数で、1とその数以外で割り切れない数」のことです。 例えば、「5」は1より大きい整数で、1と5でしか割り切れないので素数です。 しかし、「6」は2や3でも割り切れるので、素数ではありません。



3個以上の数の連除法・はしご算・素因数分解

数字が3個以上のときは次のように考えます。

12、18、24の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。

2)12,18,24
3) 6, 9, 12
///2, 3, 4

3つの数の全部をわることができる数は2×3=6しかありません。
12=6×2、18=6×3、24=6×4で、3個の数全部をわれる数は6しかないので、6が3つの数の最大公約数です。


ところが、最小公倍数は、左の縦の2×3と最下段の2×3×4の積ではありません。
そこが、2個の数のときとは違います。

なぜ、ここでやめてはいけないのか?

ここでやめたら、最小公倍数は(2×3)×(2×3×4)ということになります。

ところが、
12=6×2
18=6×3
24=6×4=6×2×2
です。

この3つの数の最小公倍数を考えるとき、6×2×2×3であれば
、12=6×2も、18=6×3も、24=6×4=6×2×2も、すべてをふくむことができます。

つまり、
12=6×2
18=6×3
24=6×4=6×2×2

のとき、
12=6×2で、24=6×4=6×2×2だからといって、2を3個と数えてはいけない、2は2個だと考えないといけないということです。

だから、数が3個以上あるとき、3個の数全部がわれる数が最大公約数だが、最小公倍数はまだ求められない。
この問題のように、12=6×2、24=6×4と、6以外の2と4がまだ2でわれるときは(互いに素でないときは)、2つの数12と24を、両方をわれる2でわっておかないといけないということになります。


2)12,18,24
3) 6, 9, 12
///2, 3, 4
で、最大公約数の6を求めた後、最小公倍数を求めるには、さらに3つのうちの2つをわれる数で、わっていかないといけません。

2)12,18,24
3) 6, 9, 12
2) 2, 3, 4……2でわれなかった3は、そのまま下におろします。
///1, 3, 2

最小公倍数は、(2×3×2)×(1×3×2)=12×6=72です。


3個以上の数の連除法・はしご算・素因数分解では、
(1)すべての数をわれる数最大公約数である
(2)最小公倍数を求めるときは、さらに、2つでもわれる数があると、わっておかないといけない



数が4個のときも同様です。

8,12,20,36の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。

2)8,12,24,36
2) 4, 6,12,18
3) 2, 3, 6, 9

4個の数全部をわることができるのは2×2=4しかありません。
最大公約数は4です。


最小公倍数を求めるには、さらに2つでも、3つでも、われる数があるとわっていきます。

2)8,12,24,36
2) 4, 6,12,18
3) 2, 3, 6, 9
……3でわれなかった2はそのまま下におろす
2) 2, 1, 2, 3……2でわれなかった1と3はそのまま下におろす
// 1, 1, 1, 3

最小公倍数は、(2×2×3×2)×(1×1×1×3)=24×3=72です。

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例えば12と18の最大公約数と最小公倍数を求める方法として、連除法はしご算)と呼ばれる方法があります(単に素因数分解ということもあります)。

素数(そすう)というのは、「1より大きい整数で、1とその数以外で割り切れない数」のことです。 例えば、「5」は1より大きい整数で、1と5でしか割り切れないので素数です。 しかし、「6」は2や3でも割り切れるので、素数ではありません。

2)12,18
3) 6, 9
//2,/3

12と18を一番小さい素数の2でわり(普通のわり算と違って横棒を数字の下に書きます)、わった答えの6と9を、12と18の下に書きます。

さらに、6と9を素数の3でわり、わり算の答え23を、6と9の下に書きます。

2と3をわれる数は1以外にないので(1は素数ではありませんし、残った2と3が素数なので)これで終わりです。

このとき、左の列の23をかけた2×3=6が12と18の最大公約数です。

また、左の列の23と、下に残った23をかけた、(2×3)×(2×3)=6×6=36が、12と18の最小公倍数です。


なぜ、この方法で最大公約数と最小公倍数が求められるのか?

12と18の両方が2×3の6でわり切れて、12=6×2、18=6×3とわかったので、12と18のどちらもわれる6が最大公約数です(6以上の大きい公約数は考えられません)。

また、最大公約数の6に、最後に残った23をかけた6×2×3は、12(=6×2)と18(=6×3)の両方の倍数になっているので最小公倍数です(6×2×3より小さい公倍数は考えられません)。


また、例えば24と36だと、

2)24,36
2)12,18
3) 6, 9
//2,/3

となり、最大公約数は2×2×3=12であり、最小公倍数は(2×2×3)×(2×3)=12×6=72です。


以上のような、2つ以上の数を、どちらもわれる数でわっていく方法のことを、
2つ以上の数(連)を、わり算(除法)するので、連除法
また、はしごのように横棒がつながっているので、はしご算
と呼びます。
(素数の約数でわって分解するので、素因数分解ともいいます。)


最大公約数と最小公倍数で重要なこと

24と36の場合、どちらの数も2×2×3=12でわることができました。
24=12×2、36=12×3でした。

共通部分の12が最大公約数で、共通部分に23をかけた12×2×3が最小公倍数です。

つまり、
A=a×b
B=a×c
のとき、
最大公約数はa
最小公倍数はa×b×c
です。

このとき、bとcの両方をわることができる1以外の数はもうありません。

1以外の公約数がないこと(1以外の、同じ数ではわれないこと)を、bとcは「いに素(たがいにそ)である」といいます。


よく出題される応用問題

例題:ある数と、30の、最大公約数が6で、最小公倍数が90でした。ある数はいくらですか。

(解き方)
2つの数がa×ba×cのとき、最大公約数はa、最小公倍数はa×b×cです。

この問題だと、最大公約数が6ということから、ある数と30の共通部分は6だということがわかります。

ある数=6×
30=6×5

最小公倍数の90は、6××5となるはずです。

最小公倍数の90=6×□×5
90を6×5=30でわると90÷30=3だから、□=3だとわかります。

以上より、ある数は、6×3=18です。



3個以上の数の素因数分解(連除法・はしご算)については、こちらを参照してください。


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今から学ぶこと

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる



これだけは理解しよう

1、円周(円の周りの長さ)は、直径の約3.14倍である
円の周りの長さは、直径約3.14倍であることがわかっています。

円周直径何倍かを表す数を円周率といいます。
どんな円でも、円周は直径の約3.14倍になります。

円周率を簡単に求めるには、筒(つつ)型の容器を用意し、筒の周囲に糸をまきつけて糸の長さを測り、次に、直径の長さをものさしで測り、糸の長さを直径の長さでわって求めることができます(完全に正確に測ることは不可能なので、正確な円周率ではなくて、だいたいの数しかわかりません)。

円周率を正確に求める式はいくつかあり(高校以上の数学で習います)、円周率は、不規則な数字が永遠に続く小数であることがわかっています。
円周率は、
3.1415926535…と不規則な数字が永遠に続く小数であり、現在、コンピューターを使って、ほぼ小数点以下10兆けたまでの数値が判明しています。

小学生は、円周率として、実際の数値に近い値である3.14倍を使って問題を解きます。


2、円周の長さを求めるは、円周=直径×3.14
円周の長さが直径の3.14倍だとわかっているので、円周の長さは、円周=直径×3.14の式にあてはめると求められます。

例題1:次の円の円周の長さを求めなさい。
(1)直径10cmの円
4

(2)半径3cmの円

5



(解答)
(1)円周を求める式、円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=10×3.14=31.4cm

(2)まず、直径の長さを先に求める。直径は半径の2倍だから、3×2=6cm。
これを円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=6×3.14=18.84cm


例題2:円周の長さがわかっているとき、次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが15.7cmの円の直径を求めなさい。
6

(2)円周の長さが25.12cmの円の半径を求めなさい。
6

(解答)
(1)円周=直径×3.14だから、円周÷3.14で直径の長さが求められる。
15.7÷3.14=5cm

(2)まず、円周÷3.14=直径の式を使って、直径を求める。
25.12÷3.14=8cm(直径)
半径は直径の半分の長さだから、半径は8÷2=4cm


3、円周の一部(弧(こ)といいます)の長さを求めるときは、円周の何分の一になるかを先に求めてから、円周をわる
円周の一部の長さを求めたいときは、その図形が円全体の何分の一にあたるかを先に求めておきます。

89例えば、円の中心をはさむ半径の角度が180°のとき(これを半円といいます)、円の中心をぐるっとまわる角度は360°ですから、その図形は、360÷180=2より、円の2分の1の大きさだとわかります。





10また、円の中心をはさむ半径の角度が90°なら、360°÷90=4より、その図形は円の4分の1です。






例題3:次の各問いに答えなさい。
(1)次の図形の、円周の一部にあたる部分の長さを求めなさい。
11

(2)次の図形のまわりの長さを求めなさい。
12








(解答)
(1)(1)の図形は、360°÷45°=8より、円の8分の1の図形。
だから、円周の一部にあたる部分は、円周全体の8分の1。
また、直径は半径8cmの2倍の16cm。
円周の8分の1だから、直径×3.14÷8=16×3.14÷8=16÷8×3.14=2×3.14=6.28cm

(2)「まわりの長さ」とは、円周の一部だけではなくて、まわり全部の長さのことだから、半径の部分もふくむ。
まず、円周の一部にあたる部分の長さを求める。
(2)の図形は、直径が6×2=12cmで、360÷30=12だから、円全体の12分の1である。
円周=直径×3.14より、円周の一部にあたる部分の長さは12×3.14÷12で求められる。
12×3.14÷12=12÷12×3.14=1×3.14=3.14cm。
円周の一部にあたる部分の長さは3.14cm。

まわりの長さは、この長さに半径2つ分が加わるから、3.14+6+6=15.14cm


(参考)
円周を求める問題では、計算の工夫をすると、解く時間も短くてすみ、間違いも減ります。
例えば、16×3.14÷8を計算するとき、正直に16×3.14をしてから、その答えを8でわるのは遠回りです。
16×3.14÷8を16÷8×3.14と順序をかえると、16÷8=2なので、2×3.14の計算だけをしたらよいことになり、とても計算が楽になります。




例題4:運動場に、図のようなトラックがあります。このトラックのまわりにそって走ると何m走ることになりますか。
13







(解答)
トラックのうち、直線ではない部分を2つ合わせると1つの円の円周になる。
円周の部分の長さは、円周=直径×3.14より、50×3.14=157m。
この長さに、直線部分の50m×2=100mを加えると、100+157=257m


例題4:図の四角形は1辺が8cmの正方形です。色をぬった部分のまわりの長さを求めなさい。
14






(解答)
色をぬった部分のまわりは、円周の一部であり、2つの部分を合わせるとちょうど円の半分になる。
半径8cmだから、直径は8×2=16cm。
直径16cmの円の円周の長さの半分だから、16×3.14÷2=16÷2×3.14=8×3.14=25.12cm



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる



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以前は小学4年で、今は5年生で、『計算のきまり』を習います。「交換法則」「結合法則」「分配法則」の3つです。

交換法則とは、前と後を「交換」しても答えはかわらないという法則です。
例えば、2+3=3+2、2×3=3×2。
引き算、わり算では成り立ちません。

結合法則は、項が3つ以上あるとき、どちらを先に計算しても(どちらを「結合」しても)、結果はかわらないという法則です。
例、(2+3)+4=2+(3+4)、(2×3)×4=2×(3×4)。
この法則も、いつも成り立つのは加法、乗法だけです。

分配法則とは、( )内を先に計算してその答えにある数をかけても、( )内のそれぞれの数にある数を(分配して)かけても、計算結果はかわらないという法則です。
例、(2+3)×4=2×4+3×4。

この逆も分配法則といわれます。
例、2×4+3×4=(2+3)×4

交換法則と結合法則は、後々、あまり使い道がありません。
分配法則だけは、小6でも、中学生になっても、しばしば登場します。

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小学5年生と分配法則(「円」の計算を楽にするために)

単元「計算のきまり」で分配法則を学ぶときは、まだあまり有用性はありません。習うから、仕方なしに覚えないといけないだけです。

例えば、最も子どもたちがいやがる問題に、「102×23を工夫してしなさい」という問題があります。正解は、
102×23
=(100+2)×23
・・・分配法則を使う準備として、きりのよい数字を用いて式を変形する
=100×23+2×23・・・分配法則を使ってそれぞれの数字に23をかける
=2300+46・・・ちゃんと分配法則を使ったご褒美として、計算が非常に楽になる
=2346
ですが、「筆算をすればよいのになぜこんな遠回りをするの?」というのが子どもたちの本音で、ま、そう言われればそうです。
問題文中の、「工夫してしなさい」ってのは、「工夫した証拠を途中の式に書いておきなさい」って意味だよと強調しても、こちらが目を光らせているときはいやいや書きますが、油断するとすぐ答えだけを書いたりする。
その横に、102×23の筆算をして消しゴムで消した痕跡がうっすら残っていたりして、「人の言うことなんか素直に聴くものか」という子どもの本能にはおそれいるしかない。

いやいや覚えさせたって意味がないんで、私は最初教えるときは、少々のズルは見逃します。
但し、しつこくやっておく意味はある。人間は、時期をおいて、繰返し言われるのが一番頭に残る。最初はできなくても、そこでくどく言っておくと、後でそれが生きてきます。

そして、5年生の後半、「円」です。
1左の図の、太線で囲まれた図形の面積を求めるとします。
中心角が90度で円の4分の1ですから、式は9×9×3.14÷4-5×5×3.14÷4です(正しくは9×9×3.14×90/360-5×5×3.14×90/360)。

馬鹿正直に計算すると、3.14×81を筆算でして答えを4で割る、次に3.14×25を筆算して4で割る、最後に引き算をすると、計5回の複雑な計算をしなければなりません。

分配法則を使うと、
9×9×3.14÷4-5×5×3.14÷4
=(81-25)×3.14÷4・・・3.14÷4が共通であることに着目する
=56÷4×3.14・・・56÷4を先に計算する
=14×3.14
=43.96
となり、筆算1回だけで簡単に求められます。

分配法則を使うほうが、何倍も早くできますし、計算を間違える可能性も大幅に減少します。
中学入試の問題でも、円のからんだ問題は、円の問題というよりは分配法則を上手に使えるかどうかを試す問題のほうが多いくらいです。
つまり、分配法則が本当に威力を発揮するのは、「計算のきまり」の単元より「円」の単元であり、分配法則を使わないで円の問題を解くようでは、合格はおぼつかないということになります。

ところが、また子どもたちはなかなか言うことを聞いてくれません。

子どもが苦労する前に、「分配法則を使いなさい」と言ってしまうとだめなんですね。
円の問題を、分配法則を用いないで馬鹿正直に何回もさせて、いい加減うんざりさせた後に、おもむろに「実は・・・」と分配法則を使うように誘導する。
それも、こちらが強制するのではなくて、子どもが自分が気がついたように持っていく、あるいは、そのほうが得だと自分で気がつくように仕向けるのが、上手な指導法だと思います。

小学6年生と分配法則(分数計算と分配法則)

小6では、分数のかけ算・わり算で再び分配法則が登場します。

6年生の場合、小5の円のときのような、苦労させてその後でという手は使えません。生意気盛りで根拠のない自信を持ち始める年頃ですから、頭を使って分配法則で楽をするより、頭を使わないで複雑な計算で苦労するほうを選んだりします(わかっていても人の忠告を無視してあえて苦労したがるのは、大人も一緒かもしれませんね)。
もう、強制的に覚えさせてやらせるしかありません。

2左の場合、「分配」という言葉の意味から覚えさせます。両方に分けてかけるから、両方に「分配する」から分配法則だと強調します。











3下の式の場合は、「同じ数字の部分(この問題だと4/7)があるのが分配法則を使う目印だ」という言い方をすると、短時間でわかってくれるようです。










小学生の場合、問題を見てすぐに「分配法則を使う問題だ」と、自分で気がつく子はほとんどいません。
しかし、小学校の段階で、遅くとも小6までに、「分配法則」の概念を子どもの頭に残しておいてあげることは絶対に必要です。

中学生になったら、分配法則という言葉を使うだけで教えやすくなる単元がたくさんあります。そのためにも、小学校の間に分配法則を上手に習得させておくべきです。

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出題:次の数字の間に+、-、×、÷、( )を入れて、答えが10になる式をつくりなさい。
(1) 4 7 8 6
(2) 6 8 2 5
(3) 9 6 3 7
(4) 5 8 2 3


最初は、よい解き方があるのかどうかすら全く見当がつかなかったのですが、なんとか解き方らしいものを思いつきました。

解いていくとき、タイプとして、

1、前の2つの数の計算の結果と、後ろの2つの数の計算の結果で10をつくる・・・(A*B)(C*D)タイプ

2、先頭の数と、後ろの3つの計算の結果とで10を作る・・・A(B*C*D)タイプ

3、前の3つの数の計算の結果と、最後の数とで10を作る・・・(A*B*C)Dタイプ

の3つがあるのではないかと考えました。

4つの問題を、タイプ別に考察したのが以下です。


(A*B)*(C*D)の検討(*の場所には+、-、×、÷のいずれかが入ります)

(1)4 7 8 6
前の4、7でできる計算は4+7=11か4×7=28です。
後ろの8、6を加減乗除して11-1=10か28-18=10ができればよいのですが、無理です。

(2)6 8 2 5
前の6、8でできる計算は6+8=14か、6×8=48。
後ろの2、5の2数で、14-4=10、48-38=10になる式はできません。

(3)9 6 3 7
前の9、6でできる計算は9+6=15、9-6=3、9×6=54です。
後ろの3、7の計算の組合せで、10になることはありません。

(4)5 8 2 3
前の5、8でできる計算は、5+8=13か、5×8=40だけ。
後ろの2、3の計算で13を10にしたり、40を10にすることはできません。

以上の検討より、(A*B)*(C*D)の計算の結果が10になることはありませんでした。



A(B*C*D)の検討(先頭の数と、後ろの3つの数の計算結果で10を作る)


(1) 7 8 6

6ができるかどうか・・・後ろの7、8、6の計算の組合せで6になる式はありません。

それ以外の4-(7*8*6)、4×(7*8*6)、4÷(7*8*6)が10になることはありません。


(2) 8 2 5

4ができるかどうか・・・後ろの8、2、5を組み合わせて4をつくることはできません。
先頭の6を使って、他に10になる計算はありません。


(3) 6 3 7

1ができるかどうか・・・後ろの6、3、7の組合せで1をつくることはできません。
先頭の9と他の数との計算で、たし算以外に10になることはありません。


(4) 8 2 3

5ができるかどうか・・・後ろの8、2、3を組み合わせた計算で5になる計算はありません。
×2ができるかどうか・・・8-2×3で2ができます。  5×(8-2×3)=10


(A*B*C)Dの検討(前の3つの数の計算結果と、最後の数の計算で10を作る)

(1)4 7 8 

ができるかどうか・・・前の4、7、8を組み合わせた計算で4をつくることはできません。
16ができるかどうか・・・4、7、8で、16になる計算はありません。
60÷ができるかどうか・・・4+7×8で60ができます。   (4+7×8)÷6=10
4×(7+8)でも60ができます。   4×(7+8)÷6=10


(2)6 8 2 

ができるかどうか・・・6、8、2の計算の組合せで5はできません。
15ができるかどうか・・・6、8、2の計算を組合わせて15はできません。
×ができるかどうか・・・6-8÷2で2ができます。   (6-8÷2)×5=10
50÷ができるかどうか・・・6×8+2で50ができます。   (6×8+2)÷5=10


(3)9 6 3 

ができるかどうか・・・9÷(6-3)で3ができます。   9÷(6-3)+7=10
17ができるかどうか・・・9、6、3の計算の組合せで17はできません。
70÷ができるかどうか・・・9、6、3の組合せで70は作れません。


(4)5 8 2 

ができるかどうか・・・5、8、2の計算の組合せで7はできません。
13ができるかどうか・・・5、8、2の組合せで13はできません。
30÷ができるかどうか・・・5×(8-2)で30ができます。   5×(8-2)÷3=10


以上より、
(1)4 7 8 6
・・・
(4+7×8)÷6=10または4×(7+8)÷6=10

(2)6 8 2 5
・・・
(6-8÷2)×5=10または(6×8+2)÷5=10

(3)9 6 3 7
・・・
9÷(6-3)+7=10

(4)5 8 2 3
・・・5×(8-2×3)=10または5×(8-2)÷3=10


実際に問題を解くときは、上に書いたようにのんびりと計算することはできませんが、同じような思考経路を経て正解を見つけているのではないでしょうか。

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2でわりきれる数(偶数)

どんなに大きな数でも、1の位0、2、4、6、8であれば(つまり1の位偶数であれば)その数は2でわりきれます。

2010も当然2でわりきれます。


3でわりきれる数

実際に3でわる計算をしなくても、ある数の各位の数字をたしてそのでわりきれたらその数は3でわりきれます。

例えば、726は、各位の数字、7と2と6をたすとその和は15です。15が3でわりきれるので、もとの数字726も3でわりきれます。

2010も、2+0+1+0=3となり3でわりきれるので、2010は3でわりきれます。

なぜか:
726
=700+20+6
=7×100+2×10+6
=7×(99+1)+2×(9+1)+6
=7×99+7+2×9+2+6
=7×99+2×9+7+2+6

7×99=7×33×3なので、7×99は3でわりきれます。
2×9=2×3×3なので、2×9も3でわりきれます。

7×99と2×9が3でわりきれ、残りの7+2+6=15が3でわりきれるので、全体の726も3でわりきれるということができます。


(中学生向け)式による説明:
1例として、3けたの数を100a+10b+cとして、各位の数の和a+b+cが3の倍数であれば100a+10b+cも3の倍数である、3でわりきれることを証明してみます。

3けたの数を100a+10b+cとする
100a+10b+c
=99a+a+9b+b+c
=99a+9b+a+b+c
a+b+cが3の倍数のときだから、a+b+c=3nとする
99a+9b+a+b+c
=99a+9b+3n
=3(33a+3b+n)
(33a+3b+n)は整数なので、3(33a+3b+n)は3の倍数である
よって、各位の数の和が3の倍数であるとき、その3けたの数は3でわりきれる


例として3けたの数を取り上げましたが、何けたであろうと同じ要領で説明できます。



4でわりきれる数

ある数の下2けた(10の位の数と1の位の数)がでわりきれたら、その数は4でわりきれます。

例えば324、下2けたの24が4でわりきれるので324も4でわりきれます。

2010は、下2けたの10が4ではわりきれないので4の倍数ではありません。

なぜか:
100は4×25です。ですから、100の倍数は必ず4でわることができます。
324の場合、300は3×4×25で4でわりきれます。
だから、残った24が4でわりきれたらもとの数の324も4でわりきれる、4の倍数だということになります。



5でわりきれる数

5の倍数は、必ず1の位です。
したがって、1の位が0か5であれば、その数は5でわりきれます。

2010は1の位が0なので、5でわりきれます。


6でわりきれる数

6=2×3、つまり、6の倍数は2の倍数の性質と3の倍数の性質の両方を兼ね備えています。

だから、6の倍数、6でわりきれる数は、2の倍数の性質である1の位偶数で、3の倍数の性質である各位の数の和3の倍数であることの両方の条件をみたしているということになります。

2010は偶数であり、さらに3でもわりきれますから、6でもわりきれます。


8でわりきれる数

4でわりきれる数と同じような発想をします。

1000=8×125です。だから、1000の倍数は必ず8でわりきれます。
残った下3けた、100の位と10の位と1の位の数がでわりきれたら、その数は8でわりきれるということになります。

2010の下3けたは010で、10は8ではわりきれません。だから、2010も8ではわりきれません。


9でわりきれる数

各位の数の和を9でわってみてでわりきれたら、その数自身も9でわりきれます。
つまり、3の倍数の見つけ方と同じやり方で、わりきれるかどうかを見つけることができます。


例えば、6年後の2016年、2016は2+0+1+6=9となり9の倍数なので9でわりきれる数です。
117や297、315などが9でわりきれます。
2010は2+0+1+0=3で9ではわりきれないので、9の倍数ではありません。

なぜか:
297で考えてみましょう。

297
=200+90+7
=2×100+9×10+7
=2×(99+1)+9×(9+1)+7
=2×99+2+9×9+9+7
=2×99+9×9+2+9+7

2×99=2×11×9なので、2×99は9でわりきれます。
9×9=9×1×9なので、9×9も9でわりきれます。

2×99と9×9が9でわりきれ、残りの2+9+7=18が9でわりきれるので、全体の297も9でわりきれるということができます。


(中学生向け)式による説明:
1例として、3けたの数を100a+10b+cとして、各位の数の和a+b+cが9の倍数であれば100a+10b+cも9の倍数である、9でわりきれることを証明してみます。

3けたの数を100a+10b+cとする
100a+10b+c
=99a+a+9b+b+c
=99a+9b+a+b+c
a+b+cが9の倍数のときだから、a+b+c=9nとする
99a+9b+a+b+c
=99a+9b+9n
=9(11a+b+n)
(11a+b+n)は整数なので、9(11a+b+n)は9の倍数である
よって、各位の数の和が9の倍数であるとき、その3けたの数は9でわりきれる



まとめ

でわりきれる数・・・1の位偶数(0・2・4・6・8)
でわりきれる数・・・各位の数の和でわりきれる
でわりきれる数・・・下2けたでわりきれる
でわりきれる数・・・1の位
でわりきれる数・・・1の位偶数各位の数の和でわりきれる
でわりきれる数・・・下3けたでわりきれる
でわりきれる数・・・各位の数の和でわりきれる


計算に活用しよう

小学生を教えていると、時々「先生、わりきれません!」と言う声を聞きます。「計算する前にわかるでしょ。」と言うとキョトンとしています。
計算をする前に、3や4や6や9でわりきれるかどうかを確認しておくと無駄な手間を省くことができます。

また、100=4×25であり、100は00と0が2個続いていますから、00と0が2個続いたら必ず4でわりきれます。つまり、どんな数であろうと、00と0が2個続く小数第2位までには必ず4でわりきれてしまいます。

同様に、1000は8×125だから、どんな数も小数第3位までには8でわりきれます。

逆に、0がいくら続いても3や9の倍数にはなりませんから、3や6や9でわったときに小数点以下でわりきれる数はありません。

時々、小数点以下何けたも何けたも計算して首をひねっている人を見かけますが、わりきれないものをどこまでわってもわりきれるはずがありません。


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