１から１０までの整数をたして、その和を求めたことがあると思います。
１＋２＋・・・＋９＋１０＝５５

では、１から１００までの整数の和はいくらになるでしょうか。
正直に、順にたしていくのは大変です。
なにかよい工夫はないでしょうか？


逆に並べた整数の組を利用して解く方法

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００、この整数の和を求めるのに、
１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１と、同じ整数を逆に並べたものを利用します。

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００
１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１

上下に並んだ１と１００、２と９９、３と９８、・・・の２数の和は１０１です。

そして、その１０１の組が（１＋１００）、（２＋９９）、（３＋９８）、・・・、（９８＋３）、（９９＋２）、（１００＋１）と１００組あります。

同じものを２つ用意したものの和が１０１×１００組ですから、１から１００までの整数の和はその半分です。

以上より、
１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００
＝（（１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００）＋（１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１））÷２
＝（１＋１００）×１００÷２
＝５０５０


ちなみに、同じようにして１から１０００までの整数の和を求めると、（１＋１０００）×１０００÷２＝５００５００となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎと、逆に並べた
ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋３＋２＋１を利用します。

上下に並んだ２つの整数の和は、
１＋ｎ
２＋（ｎ－１）＝１＋ｎ
３＋（ｎ－２）＝１＋ｎ・・・
と、すべて（ｎ＋１）です。

そして、（ｎ＋１）になる２数の組がｎ組あります。

２列の整数の和が（ｎ＋１）×ｎ組で、これが、求めたい１＋２＋・・・＋（ｎ－１）＋ｎの２倍です。

だから、１からｎまでの整数の和は、（ｎ＋１）×ｎ÷２で求められます。


同じ和になる２組の数を見つけて解く方法

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００

１から１００までの整数を並べてみると、左側は１＋２＋３＋・・・と、１ずつ増加します。
右側の・・・＋９８＋９９＋１００を１００からもどって眺めると、１ずつ減少しています。

ということは、最初の１と最後の１００、２番目の２と最後から２番目の９９、３番目の３と最後から３番目の９８、・・・それぞれの組の和はすべて１０１です。

そして、１００までには、たして１０１になる２数の組が１００÷２＝５０組あります。

以上より、１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００＝１０１×５０＝５０５０となることがわかります。









ちなみに、同じようにして１から１０００までの整数の和を求めると、（１＋１０００）×（１０００÷２）＝５００５００となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

１からｎまでの整数の和は、
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎ
＝（１＋ｎ）×（ｎ÷２）
＝（１＋ｎ）×ｎ÷２




以上の求め方は、ｎが偶数のときを念頭においています。


（小学生にはやや難しいのですが、ｎが奇数のときは以下のようになります。）

ｎが奇数のとき、１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎで、
１＋（ｎ－１）、２＋（ｎ－２）、・・・と、最後のｎを除いて組を作ったらわかりやすい。
１＋（ｎ－１）＝ｎ
２＋（ｎ－２）＝ｎ・・・の組が、（ｎ－１）÷２組あり、その和にｎを加えたものが、１からｎまでの整数の和です。


















このように、ｎが奇数のときでも、同じ公式をつくることができます。


まとめ

１から１０までの整数の和は、（１＋１０）×１０÷２＝１１×５＝５５

１から１００までの整数の和は、（１＋１００）×１００÷２＝１０１×５０＝５０５０

１からｎまでの整数の和は、（１＋ｎ）×ｎ÷２




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