３つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺（斜辺（しゃへん））と一番短い辺とは常に長さが2：1になります。









なぜ、2：1になるのか？

（１）分割して見つける方法
角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC：AC=1+1：1=2：1だといえます。

（２）円を使って見つける方法
中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC：AC=1+1：1=2：1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2：1であることを使う問題

例題：かげをつけた部分の面積を求めなさい。











（解き方と解答）
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。






まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・（１）

次に、三角形ABOの面積を求めます。
底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO：AH=2：1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・（２）

（１）（２）より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6

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取り上げる問題は、２問とも時間内に私が解けなかった問題です。

（解答を見ないで自分だけの力で解けたら「師匠」と呼ばせていただきますのでチャレンジしてみてください。）


問題１：図で四角形ＡＢＣＤと四角形ＤＥＦＧは同じ大きさの正方形で、点ＣはＡとＦを結ぶ直線上にあります。ｘの角の大きさは何度ですか。













（解答）
ＡＣが正方形の対角線だから三角形ＤＡＣは直角二等辺三角形であり、角ＤＡＣや角ＤＣＡが45°であることはわかります。
それがわかった後、いろいろ考えたのですが、すぐにはわかりませんでした。

ＡＦとＤＥの交点をＨとします。

角度の問題は、求めたい角度に関係のある三角形を見つけて、その三角形で考えるのが鉄則です。

まず、三角形ＤＨＣで考えましたが、角ＤＣＨ＝45°はわかるものの角ＨＤＣが求められません。
三角形ＤＡＨで考えても、角ＡＤＨを求められません。

残ったのは、三角形ＨＥＦです。
ここで、中学入試のむずかしい問題で使う、「正三角形の利用」ではないかと思いつきました。

角度や面積の問題で特にむずかしい問題を解くとき、正三角形の角度が６０°であること、頂点から垂直な線を底辺に引くと辺を二等分できること、角も二等分されて３０°になることなどを使うことがあります。





この問題でも、次のように線をかき込んで正三角形を作ったら、やっと解けました。
正方形ＡＢＣＤの対角線ＡＣとＢＤの交点をＩとします。
正方形ＤＥＦＧの対角線ＤＦをひき、点ＢとＦも結びます。

正方形ですからＡＣとＢＤは垂直であり、ＤＩの長さはＢＤの半分です。
ゆえに、ＤＩの長さはＤＦの半分でもあります。

そうすると、三角形ＤＩＦは、角ＤＩＦが９０°で、辺ＤＩ：辺ＤＦ＝１：２となり、角ＩＤＦ＝６０°、角ＤＦＩ＝３０°の直角三角形であることがわかります（また、三角形ＤＢＦは正三角形です）。

ここまでわかったので、いよいよ三角形ＨＥＦ（図の青色の部分）の角度を求めていきます。

角ＨＥＦは正方形の角で９０°です。

角ＤＦＥは直角二等辺三角形の角だから４５°
そして、角ＤＦＩ＝３０°
よって、角ＨＦＥ＝角ＤＦＥ－角ＤＦＨ＝４５°－３０°＝１５°

以上より、ｘは１０５°となります。



この問題は、教育開発出版の新小学問題集に掲載されている灘中学の問題ですが、さすがというかなんというか、私は最初お手上げでした。


次の問題は同じページにのっている早稲田の問題ですが、これも私はすぐには解けませんでした。


問題２：図のように、形も大きさも同じ長方形を３つ重ねたところ、２か所の角度がわかりました。ｘ、ｙの角度はそれぞれ何度ですか。












（解答）
この問題は、わかったら「なあんだ」と思える問題ですが、どうやって解くかを思いつかないと苦戦します。

問題１と同様、このままではおそらく解けません。
補助線をかき込む必要があります。

私も解けるまでにずいぶん苦しんだので、あなたも苦しんでください。
どこに線を引いたら解けるかはすぐには教えません。



では、健闘を祈ります。



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問題２の補助線と解答













ｘ＝１４０°
ｙ＝１６０°

中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。

今回は数列の問題です。

例題：次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。
第１段目　5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
第２段目　5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
第３段目　10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
（１）第１段目の１番目から１０番目までの数をたすといくらになりますか。
（２）第２段目の３５番目の数はいくらですか。
（３）３００は第３段目の何番目の数ですか。


（解き方）
第１段目　5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
（１）第１段目の１番目から１０番目までの数をたすといくらになりますか。


代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

等差数列で何番目かの数を求めるとき

5,13,21,29,37,…の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。

最初の数がａで、ｂずつ増える等差数列では、ｎ番目の数は
a+b×(n-1)
の式で求められます。

例えば、5,13,21,29,37,…の数列の100番目の数は何かというと、
5+8×(100-1)となります。

そうなる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。

８ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に１少ない個数です。

最初が５で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,…の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。

等差数列では、最初の数がａで、ｂずつ増えるとき、ｎ番目の数は
a+b×(n-1)
です。


等差数列で、数列の和を求めるとき

例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。

5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした
77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。
上と下の、(5+77),(13+69),…の和はすべて82です。

和が82の組が10組あるので、82×10、
これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。

つまり、82×10÷2=410だということになります。

まとめると、最初がaでbずつ増える数列の、n番目の数までの和は（
a,a+b,a+b×2,…,a+b×(n-1)の和は）、
最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)のn倍を2でわると求めることができるということです。

だから、5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の１０個の数列の和は、
(5+77)×10÷2=410です。


次の問題です。

第２段目　5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
（２）第２段目の３５番目の数はいくらですか。

代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき

5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列は、
5,5+1,6+2,8+3,…というふうに、前の項より1,2,3,4,…と増えている数列です。

この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…を、
5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,…と書き直します。

そうすると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+…＋(n-1)を加えた数だということになります。

最初がaで、前の項より1,2,3,4,…と増えていく数列のn番目は、
a+1+2+3+…+(n-1)だということです。

だから、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列の３５番目の数は、
5+(1+2+3+…+34)=
5+(1+34)×34÷2=
5+595=
600

答えは600です。


最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。

第３段目　10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
（３）３００は第３段目の何番目の数ですか。

第３段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…と、３個の数ごとの組になっています。

各組の最初である、10,28,46…は、10から始まって、18ずつ増える数列です。

300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。
290÷18=16あまり2

最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。

また、各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。
290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。

3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。


知っておいたほうがよい、その他の数列

（１）1,4,9,16,25,36,49…

1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,…と、同じ数をかけた数の列です（同じ数をかけることを2乗といいます）。

知っていないと、案外よく出題されます。


（２）1,3,9,27,81,…

前の数に決まった数をかける数列（例にあげたものは3をかけています）です。

小学生範囲ではあまり出題されません。


（３）1,1,2,3,5,8,13,21,…

1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,…と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。

フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。

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中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。
まず、規則性の問題です。

例題１：数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
（１）最初から１５３番目の数は何ですか。
（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。

（解き方）
１、まず、規則を見つける

（1,2,3,2,1）,（2,3,4,3,2）,（3,4,5,4,3）,（4,5,6,5,4）,（5,6,…

数が５個ずつ組になっていて、ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）となっていることを見つけておきます。

２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

（１）最初から１５３番目の数は何ですか。

数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。

153÷5=30あまり3

153は、30組あった後の３１番目の組の3個目の数です。

ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）だから、3１番目の組にふくまれる数は（31,32,33,32,31）です。

この組の3個目の数だから33が求める数です。

３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。

最後の組がどんな数でできているかを見つけます。

200÷5=40

最後の組は40番目の組であり、（40,41,42,41,40）です。

一の位が１である数は、最初が（1,2,3,2,1）。

次が（9,10,11,10,9）、（10,11,12,11,10）、（11,12,13,12,11）。

次が（19,20,21,20,19）、（20,21,22,21,20）、（21,22,23,22,21
）。

次が（29,30,31,30,29）、（30,31,32,31,30）、（31,32,33,32,31
）。

最後が（39,40,41,40,39）、（40,41,42,41,40）。

一の位が１である数の個数は、最初が２個。
次が、１個＋2個＋2個の５個。
次も、同じ５個。
次も、同じ５個。
最後が、１個＋２個の３個。

以上より、２＋５×３＋３＝２０個。


例題２：１から１００までの整数を、次のように３つの数の組にならべます。
（1,3,5）、（2,4,6）、（3,5,7）、（4,6,8）、……、（96,98,100）
（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。
（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。

（解き方）
１、まず、規則を見つける

３つの数で組になっており、ｎ番目の組は（n,n+2,n+4）となっています。

２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。

n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。

(234-6)÷3=228÷3=76

最初の数が７６だから、第７６番目の組です。

３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。

最も簡単な数で、「３つの数の和が２４の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。

一番小さい２４の倍数は２４です。

３つの数の和が２４になるとき、その３つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、（6,8,10）です。

次の２４の倍数は４８です。
このとき、３つの数は、(48-6)÷3=14より、（14,16,18）。

ここで、３つの数の組が（6,8,10）、（6+8,8+8,10+8）になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が８ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、２４の倍数も２４ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。

３つの数の組の最初の数が、はじめが６、２番目が６＋８の１４、次が１４＋８の２２、･･･となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が６、１４、２２、３０、…と８ずつふえていけば３つの数の和が２４の倍数になり、それ以外に２４の倍数はないこともわかります。

8×11=88であり、最初の数である６に８８をたすと９４ですから、見つけたい組の最後のものは（94,96,98）です。

最初が６で、それから８ずつ増える数が１１個あるので、最初の数が６、１４、２２、…９４である３つの数の組の数は、１＋１１＝１２組。

答えは１２組です。


例題３：図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。

（解き方）
１、まず、規則を見つける

白のご石は１、３、５、…とならんでいます。
黒のご石は２、４、６、…とならんでいます。

つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。

２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。

ご石は、１、２、３、…、１６、１７とならんでいます。
（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の組ができたあと、最後に１７が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の８組目までは、各組とも偶数のほうが１だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より８個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が１７個あります。

以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。

３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。

合わせて１００個であることも念頭において考えてみましょう。

１から１０までの数の和が５５であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。

1+2+3+…+9+10=55

そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78

ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。

次は１３個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。

その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は５０個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。

残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。

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集合の問題（重なりの問題）の解き方を考えます。

例題１：36人のクラスで算数のテストをおこないました。問題数は2問で、2問とも正解した人は9人、問い1の正解者は20人、問い2の正解者は12人でした。
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。


ベン図

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
左図のように、クラス全体を長方形で表し、問い1と問い2の正解者をそれぞれ2つの円で表します。
どちらにも含まれる人（両方とも正解した人）があるときは一部が重なった2つの円で表します。

問題を解くとき、このベン図に数値を書き込むと簡単に解くことができます。







ベン図に数値を書き込んだものが次の図です。

問い1の正解者20人は、問い1だけを正解した人と問い2も正解した人を含んでいます。
このようなとき、円の内部に書き込まないで、両方を含んでいることがひと目でわかるように、問い1を表す線上に20と書き込むと後で混同しません。

問い2の正解者12人も同じように問い2を表す線の上に書き込みます。

両方の問題の正解者9人は、混同するおそれがないので、線上ではなくて内部に9と書き込みます。


そのあと、問い1だけの正解者を求めて（20-9=11）図の内部に書き込み、問い2だけの正解者を求めて（12-9=3）図の内部に書き込むと、視覚的にはっきりして悩まずに解くことができます。


（解答）
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
20-9=11
11人です。

(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。
36-(11+9+3)=13
13人です。

この例題は、20+12=32は両方とも正解の人数9人を1回だけダブって数えているから、36-(20+12-9)=13と、「頭で」考えても解くことができます。
しかし、ベン図を使い、それぞれの部分だけの人数を線上ではなくて内部に11、9、3と書き込むことで、「目で」確かめながら、「確信をもって」「正確に」解くことができます。


例題２：あるクラスで、ソフトボール部に入っている人は13人、コーラス部に入っている人は20人、水泳部に入っている人は7人です。水泳部だけに入っている人は2人います。ソフトボール部と水泳部の両方に入っている人はいません。また、3つのクラブに入っている人もいません。クラブに入っている人は全部で28人います。
（１）2つのクラブに入っている人は何人ですか。
（２）ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

3種類の部分集合（重なり：この例題だとソフトボール部、コーラス部、水泳部）があるとき、ベン図は次の図になります。










この図に、まず、問題文に出てきた数値を書き込みます。

左のベン図から、コーラス部と水泳部の両方に入っている人は7-2=5人だとわかります。

さらに、水泳部だけに入っている人が2人であることからソフトボール部かコーラス部に入っている人は28-2=26人とわかります。

すると、ソフトボール部とコーラス部の両方に入っている人は、13+20-26=7人です。

これで、ベン図の中のすべての図の内部の人数がわかります。

（解答）
（１）2つのクラブに入っている人は何人ですか。

左図より、
7+5=12人

（２）ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

左図より、13-7=6人


このように、ベン図を書いて、その図の内部に、その集合だけに含まれる個数を書いていくと、集合（重なり）の問題は簡単に解くことができます。


例題３：39人のクラスで、それぞれ100点満点の算数と国語のテストをしました。算数だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人でした。また、国語だけが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかったそうです。国語だけが70点以上の人は何人ですか。

（解答）
ベン図より、
11+□+□×2-5=39-6
□+□×2-5=39-6-11
□+□×2-5=22
□+□×2=27
□×3=27
□=9

国語だけが70点以上の人は、9×2-5=13人







（まとめ）
１、集合の問題を解くときはベン図を利用する。
２、1つだけの集合を表す数値は図の内部に書き込み、2つ以上の集合にまたがっている数値は線上に書き込む。




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１から１０までの整数をたして、その和を求めたことがあると思います。
１＋２＋・・・＋９＋１０＝５５

では、１から１００までの整数の和はいくらになるでしょうか。
正直に、順にたしていくのは大変です。
なにかよい工夫はないでしょうか？


逆に並べた整数の組を利用して解く方法

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００、この整数の和を求めるのに、
１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１と、同じ整数を逆に並べたものを利用します。

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００
１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１

上下に並んだ１と１００、２と９９、３と９８、・・・の２数の和は１０１です。

そして、その１０１の組が（１＋１００）、（２＋９９）、（３＋９８）、・・・、（９８＋３）、（９９＋２）、（１００＋１）と１００組あります。

同じものを２つ用意したものの和が１０１×１００組ですから、１から１００までの整数の和はその半分です。

以上より、
１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００
＝（（１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００）＋（１００＋９９＋９８＋・・・＋３＋２＋１））÷２
＝（１＋１００）×１００÷２
＝５０５０


ちなみに、同じようにして１から１０００までの整数の和を求めると、（１＋１０００）×１０００÷２＝５００５００となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎと、逆に並べた
ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋３＋２＋１を利用します。

上下に並んだ２つの整数の和は、
１＋ｎ
２＋（ｎ－１）＝１＋ｎ
３＋（ｎ－２）＝１＋ｎ・・・
と、すべて（ｎ＋１）です。

そして、（ｎ＋１）になる２数の組がｎ組あります。

２列の整数の和が（ｎ＋１）×ｎ組で、これが、求めたい１＋２＋・・・＋（ｎ－１）＋ｎの２倍です。

だから、１からｎまでの整数の和は、（ｎ＋１）×ｎ÷２で求められます。


同じ和になる２組の数を見つけて解く方法

１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００

１から１００までの整数を並べてみると、左側は１＋２＋３＋・・・と、１ずつ増加します。
右側の・・・＋９８＋９９＋１００を１００からもどって眺めると、１ずつ減少しています。

ということは、最初の１と最後の１００、２番目の２と最後から２番目の９９、３番目の３と最後から３番目の９８、・・・それぞれの組の和はすべて１０１です。

そして、１００までには、たして１０１になる２数の組が１００÷２＝５０組あります。

以上より、１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００＝１０１×５０＝５０５０となることがわかります。









ちなみに、同じようにして１から１０００までの整数の和を求めると、（１＋１０００）×（１０００÷２）＝５００５００となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

１からｎまでの整数の和は、
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎ
＝（１＋ｎ）×（ｎ÷２）
＝（１＋ｎ）×ｎ÷２




以上の求め方は、ｎが偶数のときを念頭においています。


（小学生にはやや難しいのですが、ｎが奇数のときは以下のようになります。）

ｎが奇数のとき、１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎで、
１＋（ｎ－１）、２＋（ｎ－２）、・・・と、最後のｎを除いて組を作ったらわかりやすい。
１＋（ｎ－１）＝ｎ
２＋（ｎ－２）＝ｎ・・・の組が、（ｎ－１）÷２組あり、その和にｎを加えたものが、１からｎまでの整数の和です。


















このように、ｎが奇数のときでも、同じ公式をつくることができます。


まとめ

１から１０までの整数の和は、（１＋１０）×１０÷２＝１１×５＝５５

１から１００までの整数の和は、（１＋１００）×１００÷２＝１０１×５０＝５０５０

１からｎまでの整数の和は、（１＋ｎ）×ｎ÷２




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時計算を解くときのコツは、２段階の図をかくことです。

長針と短針の間の角度を求める問題

例題１：時計の針が２時２４分をさすとき、長針と短針の間の角のうち、小さい方の角度は何度ですか。

いきなり２時２４分の図をかくとわかりにくい。最初に２時をかき、その後２時２４分をかいて考えます。


長針は１時間に時計盤を１周します。つまり、６０分で３６０度回転します。
３６０÷６０＝６度

長針は１分で６度、動きます。

短針は１２時間で時計盤を１周します。
３６０÷１２＝３０度、短針が１時間に回転する角度は３０度です。
３０度÷６０分＝０.５度

短針は１分で０.５度、進みます。

（１）２時、長針と短針は２時間分、３０度×２＝６０度離れています。

（２）長針は１分に６度進みますから、２４分で６×２４＝１４４度進みます。

（３）短針は１分に０.５度進み、２時を指していたところから、２４分で０.５×２４＝１２度進みます。

（１）（２）（３）より、長針と短針のつくる角のうち小さいほうの角度は、長針の進んだ角度１４４度から、最初に離れていた６０度と短針の進んだ角度１２度をひいた角度、１４４－６０－１２＝７２度であることがわかります。


長針と短針の重なる時刻を求める問題

時計算＋旅人算の問題です。

例題２：３時から４時までの間について、次の問いに答えなさい。
（１）時計の長針と短針が重なる時刻は何時何分ですか。
（２）時計の長針と短針のつくる角度が６０度になってから、２回目に６０度になるまでに何分かかりますか。

（１）長針と短針の重なる時刻

やはり、最初は３時の図をかきます。
長針と短針は９０度離れています。

次に、重なったところを（図にかいて）考えます。
逃げる短針を追いかけた長針が追いついたと考えたらよいことがわかります。

最初に離れていた角度は９０度です。
旅人算と同様に、１分に６度進む長針が、１分に０.５度進む短針との差を縮めていきます。１分に縮めることのできる角度は６－０.５＝５.５度です。

９０÷（６－０.５）＝９０÷５.５＝９００÷５５＝１８０／１１分
（５.５でわるのでわり切れることは考えにくく、答えは分数になるのが普通です。）
わかりやすい帯分数になおすと１６と４／１１分です。

答えは３時１６と４／１１分です。


（２）時計の長針と短針のつくる角度が６０度になってから、２回目に６０度になるまでに何分かかりますか。

最初に６０度になった場面をまずかいてみます。

次に、２回目に６０度になるところをかいてみます。

長針が、短針より６０度前から、短針を６０度追い越したところまで進んだらよい、つまり１２０度多く進んだらよいことがわかります。







１２０÷（６－０.５）＝１２０÷５.５＝１２００÷５５＝２４０／１１分

帯分数にすると、２１と９／１１分


このように、時計算は、２段階の図をかいてじっくりと検討すると、案外簡単に解くことができます。

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食塩水の濃度の問題は２種類に分類できると思ってください。

本論に入る前に、問題に使われている言葉の意味をおさえておきましょう。

例えば「８％の食塩水２００ｇ」と問題文に書いてあるとき、その意味は、「２００ｇの食塩水があって、そのうちの８％がとけている『食塩』の量である」という意味です。

あたりまえのことですが、そのあたりまえのことから、食塩水の問題を解くときは「食塩の量を最初に求めて、それを使って考えたらよい」という発想が出てきます。


最初に食塩の量を求めてから解く問題

まず、もっとも代表的な問題から。

例題１：５％の食塩水１００ｇと１０％の食塩水１５０ｇを混ぜると何％の食塩水ができますか。

最初にそれぞれの食塩水にとけている食塩の量を求めておきます。
１００ｇ中の５％だから１００×０.０５＝５ｇ。１５０ｇの１０％だから１５０×０.１＝１５ｇ。

それから、問題を見直します。
できた食塩水の濃度（割合）を求める問題だから、食塩÷食塩水。

食塩の量は５＋１５＝２０ｇ
食塩水の量は１００＋１５０＝２５０ｇ
だから、２０÷２５０＝０.０８

８％です。


少し複雑な問題になっても、まず食塩の量を求めたらなんとかなります。

例題２：１４％の食塩水２００ｇに食塩２０ｇと水１００ｇを加えると何％の食塩水になりますか。

最初にあった食塩の量は２００×０.１４＝２８ｇ。
それに２０ｇ加えたから、結局、食塩の量は２８＋２０＝４８ｇ。

できた食塩水の濃度（％）を求める問題だから食塩÷食塩水全体。

（２８＋２０）÷（２００＋２０＋１００）＝０.１５

１５％です。


他のタイプの問題も同様に、とにかく先に食塩を求めます。

例題３：３％の食塩水１５０ｇを蒸発させて５％の食塩水にするには水を何ｇ蒸発させたらよいですか。

食塩の量は１５０×０.０３＝４.５ｇ
この食塩が水が蒸発した後の食塩水の５％にあたるから、４.５÷０.０５＝９０ｇ
食塩水全体が９０ｇになればよいので、蒸発させる水は１５０－９０＝６０ｇ


やや難しい問題も、まず食塩の量を求めて、その後も食塩に集中して考えたらなんとかなります。

例題４：１０％の食塩水Ａが１６０ｇと、５％の食塩水Ｂが２００ｇあります。いま、Ｂから４０ｇだけ取り出してＡに移し、よくかき混ぜてから、ＡからＢへ４０ｇだけ移しました。このとき、Ｂの食塩水の濃さは何％ですか。

Ａに最初ふくまれていた食塩の量は１６０×０.１＝１６ｇ
Ｂに最初ふくまれていた食塩の量は２００×０.０５＝１０ｇ

ここからも、食塩だけに注目します。

ＢからＡに４０ｇ移したとき、ＢからＡに移った食塩の量は１０ｇのうちの５分の１（２００ｇ中の４０ｇ移ったから）の２ｇ

この時点で、Ａの中の食塩の量は１６＋２＝１８ｇ
また食塩水の量は１６０＋４０＝２００ｇ

次にＡからＢへ４０ｇもどしたとき、移った食塩の量は１８ｇのうちの５分の１（２００ｇの食塩水のうち４０ｇを移したから）で、１８×１／５＝３.６ｇ

最終のＢの中の食塩の量は、最初あった１０ｇから２ｇをＡに移したあと、３.６ｇもどってきたから１０－２＋３.６＝１１.６ｇ

また、食塩水の量は２００－４０＋４０＝２００ｇ

よって、Ｂの濃度は１１.６÷２００＝０.０５８

Ｂの食塩水の濃さは５.８％


このように、ほとんどの食塩水の問題は、先に食塩の量を求めておき、食塩の量に注目して考えていけばなんとかなります。


逆比（反比例）の考え方を利用する問題

ところが、最近よく出題されるのは、最初に食塩を求められない問題群です。

この種類の問題は、反比例（一方が２倍・３倍・・・になれば他方は１／２倍・１／３倍・・・）の考え方、（同じことを別の言葉で言うと）、逆比（a:bであればb:a）の考え方を利用して解くことができます。

（余談ですが、算数の世界の２つのものの関係は、そのほとんどが比例か、反比例です。）


例題５：２％の食塩水と１０％の食塩水を混ぜて９％の食塩水１００ｇを作りたい。それぞれ何ｇずつ混ぜたらよいか。

この問題では、１００×０.０９＝９ｇと食塩の量を求めても、その後どうしたらよいかわからなくなります。
この種の問題が反比例・逆比を使う問題です。

２％と１０％の食塩水から９％の食塩水をつくる場合、９％と１０％は近いからほとんど両方の食塩水の量に差はないはず、逆に９％と２％は離れているので食塩水の量も大きくちがっているはず、だから、圧倒的に１０％の食塩水のほうが混ぜた量が多いのではないかと考えます。
（極端な例を考えると納得できます。大量の１０％の食塩水とごく少量の２％の食塩水を混ぜたら、できた食塩水の濃度は１０％にきわめて近いはずです。）

つまり、２％のほうは９％との差は７％、１０％のほうは９％との差は１％、７：１です。この差を縮めるには、食塩水の量は逆に１：７になるのではないかと発想します。

合わせて１００ｇになる食塩水を１：７に分けると、１００÷８×１＝１２.５ｇ

よって、２％の食塩水は１２.５ｇ、１０％の食塩水は１００－１２.５=８７.５ｇです。

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