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カテゴリ:【教科別学習】 > 小学 算数

20081128-095226


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 中学受験の難問を解く! 90°30°60°の直角三角形と辺の比


参照サイト様働きアリ
大阪で20年以上に渡って中学、高校入試の指導を行ってこられた先生による学習サイトを参考にしています。
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3つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺(斜辺(しゃへん))と一番短い辺とは常に長さが2:1になります。
図1








なぜ、2:1になるのか?

(1)分割して見つける方法
図2修正角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。

(2)円を使って見つける方法
図3中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2:1であることを使う問題

例題:かげをつけた部分の面積を求めなさい。
図4










(解き方と解答)
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。
図5





まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・(1)

次に、三角形ABOの面積を求めます。
図6底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO:AH=2:1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・(2)

(1)(2)より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6


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取り上げる問題は、2問とも時間内に私が解けなかった問題です。

(解答を見ないで自分だけの力で解けたら「師匠」と呼ばせていただきますのでチャレンジしてみてください。)


問題1:図で四角形ABCDと四角形DEFGは同じ大きさの正方形で、点Cは角度の難問(1)AとFを結ぶ直線上にあります。xの角の大きさは何度ですか。













(解答)
ACが正方形の対角線だから三角形DACは直角二等辺三角形であり、角DACや角DCAが45°であることはわかります。
それがわかった後、いろいろ考えたのですが、すぐにはわかりませんでした。

AFとDEの交点をHとします。
角度の難問(1)の2
角度の問題は、求めたい角度に関係のある三角形を見つけて、その三角形で考えるのが鉄則です。

まず、三角形DHCで考えましたが、角DCH=45°はわかるものの角HDCが求められません。
三角形DAHで考えても、角ADHを求められません。

残ったのは、三角形HEFです。
ここで、中学入試のむずかしい問題で使う、「正三角形の利用」ではないかと思いつきました。

正三角形角度や面積の問題で特にむずかしい問題を解くとき、正三角形の角度が60°であること、頂点から垂直な線を底辺に引くと辺を二等分できること、角も二等分されて30°になることなどを使うことがあります。





この問題でも、次のように線をかき込んで正三角形を作ったら、やっと解けました。
角度の難問(1)の3正方形ABCDの対角線ACとBDの交点をIとします。
正方形DEFGの対角線DFをひき、点BとFも結びます。

正方形ですからACとBDは垂直であり、DIの長さはBDの半分です。
ゆえに、DIの長さはDFの半分でもあります。

そうすると、三角形DIFは、角DIFが90°で、辺DI:辺DF=1:2となり、角IDF=60°、角DFI=30°の直角三角形であることがわかります(また、三角形DBFは正三角形です)。

ここまでわかったので、いよいよ三角形HEF(図の青色の部分)の角度を求めていきます。
角度の難問(1)の3
角HEFは正方形の角で90°です。

角DFEは直角二等辺三角形の角だから45°
そして、角DFI=30°
よって、角HFE=角DFE-角DFH=45°-30°=15°

以上より、xは105°となります。



この問題は、教育開発出版の新小学問題集に掲載されている灘中学の問題ですが、さすがというかなんというか、私は最初お手上げでした。


次の問題は同じページにのっている早稲田の問題ですが、これも私はすぐには解けませんでした。


問題2:図のように、形も大きさも同じ長方形を3つ重ねたところ、角度の難問(2)2か所の角度がわかりました。x、yの角度はそれぞれ何度ですか。












(解答)
この問題は、わかったら「なあんだ」と思える問題ですが、どうやって解くかを思いつかないと苦戦します。

問題1と同様、このままではおそらく解けません。
補助線をかき込む必要があります。

私も解けるまでにずいぶん苦しんだので、あなたも苦しんでください。
どこに線を引いたら解けるかはすぐには教えません。



では、健闘を祈ります。



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問題2の補助線と解答

角度の難問(2)の2











x=140°
y=160°
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中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。

今回は数列の問題です。

例題:次のように、ある規則にしたがって左から順に数字が並んでいます。
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


(近畿大学附属中学校21年後期入試問題)

(解き方)
第1段目 5,13,21,29,37,45,53,61,69,…
(1)第1段目の1番目から10番目までの数をたすといくらになりますか。



代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

等差数列で何番目かの数を求めるとき

5,13,21,29,37,…の数列は、8ずつ増えています。このような数列を、差が8で等しいので、等差数列といいます。

最初の数で、bずつ増える等差数列では、n番目の数は
a+b×(n-1)
の式で求められます。

例えば、5,13,21,29,37,…の数列の100番目の数は何かというと、
5+8×(100-1)となります。

そうなる理由ですが、植木算の一種と考えたらわかります。

8ずつ増えていますが、増える個数は、2番目の数で1回、3番目の数で2回、4番目の数で3回と、常に1少ない個数です。

最初が5で、n番目だとそれより1だけ少ない(n-1)だけ8ずつ増えるので、5,13,21,29,37,…の数列だと、n番目の数は5+8×(n-1)です。

等差数列では、最初の数で、bずつ増えるとき、n番目の数は
a+b×(n-1)
です。


等差数列で、数列の和を求めるとき

例えば5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和を求めるとき、最もやさしい方法は、同じ数列とは逆に並べたものを、もとの数列にたす方法です。

5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の下に、逆の順にした
77,69,61,53,45,37,29,21,13,5を書きます。
上と下の、(5+77),(13+69),…の和はすべて82です。

和が82の組が10組あるので、82×10、
これは同じものの和を2倍したものだから、実際の5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の和はその半分です。

つまり、82×10÷2=410だということになります。

まとめると、最初がabずつ増える数列の、n番目の数までのは(
a,a+b,a+b×2,…,a+b×(n-1)の和は)、
最初の数のaに最後の数のa+b×(n-1)をたしたものであるa+a+b×(n-1)n倍2でわると求めることができるということです。

だから、5,13,21,29,37,45,53,61,69,77の10個の数列の和は、
(5+7710÷2=410です。


次の問題です。

第2段目 5,6,8,11,15,20,26,33,41,…
(2)第2段目の35番目の数はいくらですか。


代表的な数列と、その解き方を知っておこう。

決まった数ずつ増える数列で何番目かの数を求めるとき

5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列は、
5,5+1,6+2,8+3,…というふうに、前の項より1,2,3,4,…と増えている数列です。

この数列では、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…を、
5,5+1,5+1+2,5+1+2+3,5+1+2+3+4,…と書き直します。

そうすると、n番目の数は、最初の数の5に、1+2+3+…+(n-1)を加えた数だということになります。

最初がaで、前の項より1,2,3,4,…と増えていく数列のn番目は、
a+1+2+3+…+(n-1)だということです。

だから、5,6,8,11,15,20,26,33,41,…の数列の35番目の数は、
5+(1+2+3+…+34)=
5+(1+34)×34÷2=
5+595=
600

答えは600です。


最後の問題は、数列を、規則性の考え方も使って解く問題です。

第3段目 10,11,12,28,29,30,46,47,48,…
(3)300は第3段目の何番目の数ですか。


第3段目の数列は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…と、3個の数ごとの組になっています。

各組の最初である、10,28,46…は、10から始まって、18ずつ増える数列です。

300が何番目の組にあたるかを見つけるために、(300-10)÷18を計算します。
290÷18=16あまり2

最初の10から始まって、18を16回たした組ですから、17番目の組であることがわかります。

また、各組は、(10,11,12),(28,29,30),(46,47,48),…というふうに、(n,n+1,n+2)となっています。
290÷18=16あまり2で、あまりが2なので、17番目の組の3番目の数が300です。

3個ずつ、16組あったあとの3番目の数なので、300は、3×16+3=51番目の数だということになります。


知っておいたほうがよい、その他の数列

(1)1,4,9,16,25,36,49…

1×1,2×2,3×3,4×4,5×5,6×6,7×7,…と、同じ数をかけた数の列です(同じ数をかけることを2乗といいます)。

知っていないと、案外よく出題されます。


(2)1,3,9,27,81,…

前の数に決まった数をかける数列(例にあげたものは3をかけています)です。

小学生範囲ではあまり出題されません。


(3)1,1,2,3,5,8,13,21,…

1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,…と、直前にある2つの数の和が並んだ数列です。

フィボナッチ数列とよばれる有名な数列です。

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中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。
まず、規則性の問題です。

例題1:数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
(1)最初から153番目の数は何ですか。
(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

(1,2,3,2,1),(2,3,4,3,2),(3,4,5,4,3),(4,5,6,5,4),(5,6,…

数が5個ずつ組になっていて、n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)となっていることを見つけておきます。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)最初から153番目の数は何ですか。

数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。

153÷5=30あまり3

153は、30組あった後の31番目の組の3個目の数です。

n番目の組は(n,n+1,n+2,n+1,n)だから、31番目の組にふくまれる数は(31,32,33,32,31)です。

この組の3個目の数だから33が求める数です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)最初から200番目の数までの中で、一の位が1になる数は何個ありますか。

最後の組がどんな数でできているかを見つけます。

200÷5=40

最後の組は40番目の組であり、(40,41,42,41,40)です。

一の位が1である数は、最初が(1,2,3,2,1)。

次が(9,10,11,10,9)、(10,11,12,11,10)、(11,12,13,12,11)。

次が(19,20,21,20,19)、(20,21,22,21,20)、(21,22,23,22,21
)。

次が(29,30,31,30,29)、(30,31,32,31,30)、(31,32,33,32,31
)。

最後が(39,40,41,40,39)、(40,41,42,41,40)。

一の位が1である数の個数は、最初が2個。
次が、1個+2個+2個の5個。
次も、同じ5個。
次も、同じ5個。
最後が、1個+2個の3個。

以上より、2+5×3+3=20個。


例題2:1から100までの整数を、次のように3つの数の組にならべます。
(1,3,5)、(2,4,6)、(3,5,7)、(4,6,8)、……、(96,98,100)
(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。
(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

3つの数で組になっており、n番目の組は(n,n+2,n+4)となっています。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)3つの数の和が234になる組は、はじめから第何組ですか。

n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。

(234-6)÷3=228÷3=76

最初の数が76だから、第76番目の組です。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)3つの数の和が24の倍数になる組は、何組ありますか。

最も簡単な数で、「3つの数の和が24の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。

一番小さい24の倍数は24です。

3つの数の和が24になるとき、その3つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、(6,8,10)です。

次の24の倍数は48です。
このとき、3つの数は、(48-6)÷3=14より、(14,16,18)。

ここで、3つの数の組が(6,8,10)、(6+8,8+8,10+8)になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が8ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、24の倍数も24ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。

3つの数の組の最初の数が、はじめが6、2番目が6+8の14、次が14+8の22、・・・となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が6、14、22、30、…と8ずつふえていけば3つの数の和が24の倍数になり、それ以外に24の倍数はないこともわかります。

8×11=88であり、最初の数である6に88をたすと94ですから、見つけたい組の最後のものは(94,96,98)です。

最初が6で、それから8ずつ増える数が11個あるので、最初の数が6、14、22、…94である3つの数の組の数は、1+11=12組。

答えは12組です。


例題3:図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。


(解き方)
1、まず、規則を見つける

白のご石は1、3、5、…とならんでいます。
黒のご石は2、4、6、…とならんでいます。

つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。

2、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する

(1)白が17個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。

ご石は、1、2、3、…、16、17とならんでいます。
(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の組ができたあと、最後に17が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、(1、2)、(3、4)、…、(15、16)の8組目までは、各組とも偶数のほうが1だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より8個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が17個あります。

以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。

3、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる

(2)白50個、黒50個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。

合わせて100個であることも念頭において考えてみましょう。

1から10までの数の和55であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。

1+2+3+…+9+10=55

そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78

ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。

次は13個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。

その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は50個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。

残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。

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集合の問題(重なりの問題)の解き方を考えます。

例題1:36人のクラスで算数のテストをおこないました。問題数は2問で、2問とも正解した人は9人、問い1の正解者は20人、問い2の正解者は12人でした。
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。



ベン図

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
ベン図左図のように、クラス全体を長方形で表し、問い1と問い2の正解者をそれぞれ2つの円で表します。
どちらにも含まれる人(両方とも正解した人)があるときは一部が重なった2つの円で表します。

問題を解くとき、このベン図に数値を書き込むと簡単に解くことができます。







ベン図に数値を書き込んだものが次の図です。
例題1
問い1の正解者20人は、問い1だけを正解した人と問い2も正解した人を含んでいます。
このようなとき、円の内部に書き込まないで、両方を含んでいることがひと目でわかるように、問い1を表す線上に20と書き込むと後で混同しません。

問い2の正解者12人も同じように問い2を表す線の上に書き込みます。

両方の問題の正解者9人は、混同するおそれがないので、線上ではなくて内部に9と書き込みます。

例題1の2
そのあと、問い1だけの正解者を求めて(20-9=11)図の内部に書き込み、問い2だけの正解者を求めて(12-9=3)図の内部に書き込むと、視覚的にはっきりして悩まずに解くことができます。


(解答)
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
20-9=11
11人です。

(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。
36-(11+9+3)=13
13人です。

この例題は、20+12=32は両方とも正解の人数9人を1回だけダブって数えているから、36-(20+12-9)=13と、「頭で」考えても解くことができます。
しかし、ベン図を使い、それぞれの部分だけの人数を線上ではなくて内部に11、9、3と書き込むことで、「目で」確かめながら、「確信をもって」「正確に」解くことができます。


例題2:あるクラスで、ソフトボール部に入っている人は13人、コーラス部に入っている人は20人、水泳部に入っている人は7人です。水泳部だけに入っている人は2人います。ソフトボール部と水泳部の両方に入っている人はいません。また、3つのクラブに入っている人もいません。クラブに入っている人は全部で28人います。
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。
(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。


3種類の部分集合(重なり:この例題だとソフトボール部、コーラス部、水泳部)があるとき、ベン図は次の図になります。
ベン図の2









この図に、まず、問題文に出てきた数値を書き込みます。
例題2
左のベン図から、コーラス部と水泳部の両方に入っている人は7-2=5人だとわかります。

さらに、水泳部だけに入っている人が2人であることからソフトボール部かコーラス部に入っている人は28-2=26人とわかります。

すると、ソフトボール部とコーラス部の両方に入っている人は、13+20-26=7人です。

これで、ベン図の中のすべての図の内部の人数がわかります。
例題2の2
(解答)
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。

左図より、
7+5=12人

(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

左図より、13-7=6人


このように、ベン図を書いて、その図の内部に、その集合だけに含まれる個数を書いていくと、集合(重なり)の問題は簡単に解くことができます。


例題3:39人のクラスで、それぞれ100点満点の算数と国語のテストをしました。算数だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人でした。また、国語だけが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかったそうです。国語だけが70点以上の人は何人ですか。

(解答)
例題3ベン図より、
11+□+□×2-5=39-6
□+□×2-5=39-6-11
□+□×2-5=22
□+□×2=27
□×3=27
□=9

国語だけが70点以上の人は、9×2-5=13人







(まとめ)
1、集合の問題を解くときはベン図を利用する。
2、1つだけの集合を表す数値は図の内部に書き込み、2つ以上の集合にまたがっている数値は線上に書き込む。




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1から10までの整数をたして、その和を求めたことがあると思います。
1+2+・・・+9+10=55

では、1から100までの整数の和はいくらになるでしょうか。
正直に、順にたしていくのは大変です。
なにかよい工夫はないでしょうか?


逆に並べた整数の組を利用して解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100、この整数の和を求めるのに、
100+99+98+・・・+3+2+1と、同じ整数を逆に並べたものを利用します。

1+2+3+・・・+98+99+100
100+99+98+・・・+3+2+1

上下に並んだ1と100、2と99、3と98、・・・の2数の和は101です。

そして、その101の組が(1+100)、(2+99)、(3+98)、・・・、(98+3)、(99+2)、(100+1)と100組あります。

同じものを2つ用意したものの和が101×100組ですから、1から100までの整数の和はその半分です。

以上より、
1+2+3+・・・+98+99+100
=((1+2+3+・・・+98+99+100)+(100+99+98+・・・+3+2+1))÷2
=(1+100)×100÷2
=5050


ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×1000÷2=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+nと、逆に並べた
n+(n-1)+(n-2)+・・・+3+2+1を利用します。

上下に並んだ2つの整数の和は、
1+n
2+(n-1)=1+n
3+(n-2)=1+n・・・
と、すべて(n+1)です。

そして、(n+1)になる2数の組がn組あります。

2列の整数の和が(n+1)×n組で、これが、求めたい1+2+・・・+(n-1)+nの2倍です。

だから、1からnまでの整数の和は、(n+1)×n÷2で求められます。


同じ和になる2組の数を見つけて解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100

1から100までの整数を並べてみると、左側は1+2+3+・・・と、1ずつ増加します。
右側の・・・+98+99+100を100からもどって眺めると、1ずつ減少しています。

ということは、最初の1と最後の100、2番目の2と最後から2番目の99、3番目の3と最後から3番目の98、・・・それぞれの組の和はすべて101です。

そして、100までには、たして101になる2数の組が100÷2=50組あります。

以上より、1+2+3+・・・+98+99+100=101×50=5050となることがわかります。
101








ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×(1000÷2)=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1からnまでの整数の和は、
1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+n
=(1+n)×(n÷2)
=(1+n)×n÷2

整数の和


以上の求め方は、nが偶数のときを念頭においています。


(小学生にはやや難しいのですが、nが奇数のときは以下のようになります。)

nが奇数のとき、1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+nで、
1+(n-1)、2+(n-2)、・・・と、最後のnを除いて組を作ったらわかりやすい。
1+(n-1)=n
2+(n-2)=n・・・の組が、(n-1)÷2組あり、その和にnを加えたものが、1からnまでの整数の和です。


整数の和2
















このように、nが奇数のときでも、同じ公式をつくることができます。



まとめ

1から10までの整数の和は、(1+10)×10÷2=11×5=55

1から100までの整数の和は、(1+100)×100÷2=101×50=5050

1からnまでの整数の和は、(1+n)×n÷2




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時計算を解くときのコツは、2段階の図をかくことです。

長針と短針の間の角度を求める問題

例題1:時計の針が2時24分をさすとき、長針と短針の間の角のうち、小さい方の角度は何度ですか。

いきなり2時24分の図をかくとわかりにくい。最初に2時をかき、その後2時24分をかいて考えます。

5af7f0bb-s23e6a19b-s
長針は1時間に時計盤を1周します。つまり、60分で360度回転します。
360÷60=6度

長針は1分6度、動きます。

短針は12時間で時計盤を1周します。
360÷12=30度、短針が1時間に回転する角度は30度です。
30度÷60分=0.5度

短針は1分0.5度、進みます。

(1)2時、長針と短針は2時間分、30度×2=60度離れています。

(2)長針は1分に6度進みますから、24分で6×24=144度進みます。

(3)短針は1分に0.5度進み、2時を指していたところから、24分で0.5×24=12度進みます。

(1)(2)(3)より、長針と短針のつくる角のうち小さいほうの角度は、長針の進んだ角度144度から、最初に離れていた60度と短針の進んだ角度12度をひいた角度、144-60-12=72度であることがわかります。


長針と短針の重なる時刻を求める問題

時計算+旅人算の問題です。

例題2:
3時から4時までの間について、次の問いに答えなさい。
(1)時計の長針と短針が重なる時刻は何時何分ですか。
(2)時計の長針と短針のつくる角度が60度になってから、2回目に60度になるまでに何分かかりますか。


(1)長針と短針の重なる時刻

c53fa8dd-sea61e8ed-sやはり、最初は3時の図をかきます。
長針と短針は90度離れています。

次に、重なったところを(図にかいて)考えます。
逃げる短針を追いかけた長針が追いついたと考えたらよいことがわかります。

最初に離れていた角度は90度です。
旅人算と同様に、1分に6度進む長針が、1分に0.5度進む短針との差を縮めていきます。1分に縮めることのできる角度は6-0.5=5.5度です。

90÷(6-0.5)=90÷5.5=900÷55=180/11分
(5.5でわるのでわり切れることは考えにくく、答えは分数になるのが普通です。)
わかりやすい帯分数になおすと16と4/11分です。

答えは3時16と4/11分です。


(2)時計の長針と短針のつくる角度が60度になってから、2回目に60度になるまでに何分かかりますか。

最初に60度になった場面をまずかいてみます。
70b8daac-s
次に、2回目に60度になるところをかいてみます。

59521888-s長針が、短針より60度前から、短針を60度追い越したところまで進んだらよい、つまり120度多く進んだらよいことがわかります。







120÷(6-0.5)=120÷5.5=1200÷55=240/11分

帯分数にすると、21と9/11分


このように、時計算は、2段階の図をかいてじっくりと検討すると、案外簡単に解くことができます。

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食塩水の濃度の問題は2種類に分類できると思ってください。

本論に入る前に、問題に使われている言葉の意味をおさえておきましょう。

例えば「8%の食塩水200g」と問題文に書いてあるとき、その意味は、「200gの食塩水があって、そのうちの8%がとけている『食塩』の量である」という意味です。

あたりまえのことですが、そのあたりまえのことから、食塩水の問題を解くときは「食塩の量を最初に求めて、それを使って考えたらよい」という発想が出てきます。


最初に食塩の量を求めてから解く問題

まず、もっとも代表的な問題から。

例題1:5%の食塩水100gと10%の食塩水150gを混ぜると何%の食塩水ができますか。

最初にそれぞれの食塩水にとけている食塩の量を求めておきます。
100g中の5%だから100×0.05=5g。150gの10%だから150×0.1=15g。

それから、問題を見直します。
できた食塩水の濃度(割合)を求める問題だから、食塩÷食塩水。

食塩の量は5+15=20g
食塩水の量は100+150=250g
だから、20÷250=0.08

8%です。


少し複雑な問題になっても、まず食塩の量を求めたらなんとかなります。

例題2:14%の食塩水200gに食塩20gと水100gを加えると何%の食塩水になりますか。

最初にあった食塩の量は200×0.14=28g。
それに20g加えたから、結局、食塩の量は28+20=48g。

できた食塩水の濃度(%)を求める問題だから食塩÷食塩水全体。

(28+20)÷(200+20+100)=0.15

15%です。


他のタイプの問題も同様に、とにかく先に食塩を求めます。

例題3:3%の食塩水150gを蒸発させて5%の食塩水にするには水を何g蒸発させたらよいですか。

食塩の量は150×0.03=4.5g
この食塩が水が蒸発した後の食塩水の5%にあたるから、4.5÷0.05=90g
食塩水全体が90gになればよいので、蒸発させる水は150-90=60g


やや難しい問題も、まず食塩の量を求めて、その後も食塩に集中して考えたらなんとかなります。

例題4:10%の食塩水Aが160gと、5%の食塩水Bが200gあります。いま、Bから40gだけ取り出してAに移し、よくかき混ぜてから、AからBへ40gだけ移しました。このとき、Bの食塩水の濃さは何%ですか。

Aに最初ふくまれていた食塩の量は160×0.1=16g
Bに最初ふくまれていた食塩の量は200×0.05=10g

ここからも、食塩だけに注目します。

BからAに40g移したとき、BからAに移った食塩の量は10gのうちの5分の1(200g中の40g移ったから)の2g

この時点で、Aの中の食塩の量は16+2=18g
また食塩水の量は160+40=200g

次にAからBへ40gもどしたとき、移った食塩の量は18gのうちの5分の1(200gの食塩水のうち40gを移したから)で、18×1/5=3.6g

最終のBの中の食塩の量は、最初あった10gから2gをAに移したあと、3.6gもどってきたから10-2+3.6=11.6g

また、食塩水の量は200-40+40=200g

よって、Bの濃度は11.6÷200=0.058

Bの食塩水の濃さは5.8%


このように、ほとんどの食塩水の問題は、先に食塩の量を求めておき、食塩の量に注目して考えていけばなんとかなります。


逆比(反比例)の考え方を利用する問題

ところが、最近よく出題されるのは、最初に食塩を求められない問題群です。

この種類の問題は、反比例(一方が2倍・3倍・・・になれば他方は1/2倍・1/3倍・・・)の考え方、(同じことを別の言葉で言うと)、逆比(a:bであればb:a)の考え方を利用して解くことができます。

(余談ですが、算数の世界の2つのものの関係は、そのほとんどが比例か、反比例です。)


例題5:2%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて9%の食塩水100gを作りたい。それぞれ何gずつ混ぜたらよいか。

この問題では、100×0.09=9gと食塩の量を求めても、その後どうしたらよいかわからなくなります。
この種の問題が反比例・逆比を使う問題です。

2%と10%の食塩水から9%の食塩水をつくる場合、9%と10%は近いからほとんど両方の食塩水の量に差はないはず、逆に9%と2%は離れているので食塩水の量も大きくちがっているはず、だから、圧倒的に10%の食塩水のほうが混ぜた量が多いのではないかと考えます。
(極端な例を考えると納得できます。大量の10%の食塩水とごく少量の2%の食塩水を混ぜたら、できた食塩水の濃度は10%にきわめて近いはずです。)

つまり、2%のほうは9%との差は7%、10%のほうは9%との差は1%、7:1です。この差を縮めるには、食塩水の量は逆に1:7になるのではないかと発想します。

合わせて100gになる食塩水を1:7に分けると、100÷8×1=12.5g

よって、2%の食塩水は12.5g、10%の食塩水は100-12.5=87.5gです。

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中学受験の算数の問題を解くのに、できるだけ分数を使わずに整数で考えるとわかりやすいように思います。
特に相当算は、図をかいて、整数で考えると解きやすくなります。


例題1:Aさんはある本を、1日目に全体の1/5より12ページ少なく読み、2日目には残りの2/3より10ページ多く読んだので、50ページ残りました。この本は全部で何ページありますか。

還元算1相当算は、問題文のうしろから解いていくのがコツです。
できるだけ、分数を使わないで、整数を使って解いてみましょう。

「残りの2/3より10ページ多く読んだ」ら50ページ残ったということは、10+50=60ページが残りの1/3ということです。

ということは、残りはその3倍になりますから、残りは60×3=180ページ。

1日目、1/5より12ページ少なく読んだので、180-12=168ページが、本全体の4/5にあたります。

168÷4×5=210ページ。

本全部のページ数は210ページです。


もう少し複雑になっても、同じやり方で解けます。

例題2:何本かの鉛筆をA、B、Cの順にとっていきます。最初、Aは全体の1/3と3本をとり、次にBが残りの1/3と1本をとり、最後にCが残りの6/7をとったところ、3本だけ残りました。はじめ鉛筆は何本ありましたか。

還元算2やはり、できるだけ整数を使って、最後から、解いていきます。

最後に残った3本が1/7にあたるから、Bがとったあとに残った鉛筆は3×7=21本。

21本に、1本をたした22本が、Aがとった残りの2/3にあたる。

だから、Aがとった残りは、22÷2×3=33本。

さらに問題の前にもどって、33本に3本をたした36本が全体の2/3だから、全体は、36÷2×3=54本。



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